题目
判断下列函数的奇偶性. (x)=dfrac (1)({a)^x-1}+dfrac (1)(2)-|||-__-|||-__ (a>0,且a≠1).
判断下列函数的奇偶性.
(a>0,且a≠1).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数定义域
首先，我们需要确定函数$f(x)=\frac{1}{a^{x}-1}+\frac{1}{2}$的定义域。由于分母不能为零，因此$a^{x}-1\neq0$，即$a^{x}\neq1$。因为$a>0$且$a\neq1$，所以$x\neq0$。因此，函数的定义域为$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
步骤 2：计算$f(-x)$
接下来，我们计算$f(-x)$，以确定函数是否为奇函数或偶函数。$f(-x)=\frac{1}{a^{-x}-1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\frac{1}{a^{x}}-1}+\frac{1}{2}=\frac{a^{x}}{1-a^{x}}+\frac{1}{2}$。
步骤 3：比较$f(x)$和$f(-x)$
现在，我们比较$f(x)$和$f(-x)$。$f(x)=\frac{1}{a^{x}-1}+\frac{1}{2}$，$f(-x)=\frac{a^{x}}{1-a^{x}}+\frac{1}{2}$。为了比较这两个表达式，我们可以将$f(-x)$重写为$f(-x)=-\frac{1}{a^{x}-1}+\frac{1}{2}$。因此，$f(-x)=-f(x)$，这表明函数$f(x)$是奇函数。
首先，我们需要确定函数$f(x)=\frac{1}{a^{x}-1}+\frac{1}{2}$的定义域。由于分母不能为零，因此$a^{x}-1\neq0$，即$a^{x}\neq1$。因为$a>0$且$a\neq1$，所以$x\neq0$。因此，函数的定义域为$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
步骤 2：计算$f(-x)$
接下来，我们计算$f(-x)$，以确定函数是否为奇函数或偶函数。$f(-x)=\frac{1}{a^{-x}-1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\frac{1}{a^{x}}-1}+\frac{1}{2}=\frac{a^{x}}{1-a^{x}}+\frac{1}{2}$。
步骤 3：比较$f(x)$和$f(-x)$
现在，我们比较$f(x)$和$f(-x)$。$f(x)=\frac{1}{a^{x}-1}+\frac{1}{2}$，$f(-x)=\frac{a^{x}}{1-a^{x}}+\frac{1}{2}$。为了比较这两个表达式，我们可以将$f(-x)$重写为$f(-x)=-\frac{1}{a^{x}-1}+\frac{1}{2}$。因此，$f(-x)=-f(x)$，这表明函数$f(x)$是奇函数。