判断：对于级数sum_(n=1)^infty u_n，若lim_(n to infty) | (u_(n+1))/(u_n) | = rho > 1，则级数sum_(n=1)^infty u_n发散. （）A. 对B. 错

本题考查正项级数的比值判别法以及级数收敛的必要条件。解题思路是先根据已知条件$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \rho > 1$，利用极限的定义得出当$n$足够大时$\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right|$的取值范围，进而得到$\lim_{n \to \infty} |u_n|$的情况，再根据级数收敛的必要条件判断级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$的敛散性。

详细解答

1. 由极限的定义可知，对于$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \rho > 1$，取$\varepsilon=\frac{\rho - 1}{2}>0$，根据极限的定义，存在正整数$N$，当$n > N$时，有：
   • $\left|\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| - \rho\right| < \varepsilon=\frac{\rho - 1}{2}$。
   • 根据绝对值不等式的性质，可得$-\frac{\rho - 1}{2}<\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| - \rho<\frac{\rho - 1}{2}$。
   • 不等式两边同时加上$\rho$，得到$\rho-\frac{\rho - 1}{2}<\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right|<\rho+\frac{\rho - 1}{2}$。
   • 计算$\rho-\frac{\rho - 1}{2}=\frac{2\rho-(\rho - 1)}{2}=\frac{\rho + 1}{2}>1$，所以当$n > N$时，$\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right|>1$，即$|u_{n + 1}|>|u_n|$。
2. 由此可知，当$n > N$时，$|u_n|>|u_{N+1}|>0$。
   • 那么$\lim_{n \to \infty} |u_n|\neq0$，因为如果$\lim_{n \to \infty} |u_n| = 0$，则对于任意给定的正数$\delta$（这里取$\delta=\frac{|u_{N + 1}|}{2}>0$），存在正整数$M$，当$n > M$时，$| |u_n|-0|<\delta$，即$|u_n|<\frac{|u_{N + 1}|}{2}<|u_{N+1}|$，这与$|u_n|>|u_{N+1}|$矛盾。
   • 又因为$\lim_{n \to \infty} |u_n|\neq0$，所以$\lim_{n \to \infty} u_n\neq0$（若$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，则$\lim_{n \to \infty} |u_n| = 0$）。
3. 根据级数收敛的必要条件：若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，则$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，其逆否命题为：若$\lim_{n \to \infty} u_n\neq0$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$发散。
   • 由于$\lim_{n \to \infty} u_n\neq0$，所以级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$发散。