证明方程 ln x-dfrac (x)(e)+dfrac (1)(2)=0 在 (0,+infty ) 内有且仅有两个实根.

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = \ln x - \dfrac{x}{e} + \dfrac{1}{2}$，并求其导数。
步骤 2：求导数
计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，并确定其符号。
步骤 3：分析单调性
根据导数的符号，分析函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的单调性。
步骤 4：确定极值点
确定函数 $f(x)$ 的极值点，并计算该点的函数值。
步骤 5：分析函数值
分析函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的函数值，确定实根的个数。
【答案】
方程 $\ln x-\dfrac {x}{e}+\dfrac {1}{2}=0$ 在 $(0,+\infty )$ 内有且仅有两个实根。
【解析】
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = \ln x - \dfrac{x}{e} + \dfrac{1}{2}$，并求其导数。
步骤 2：求导数
计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，并确定其符号。
$$
f'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{e} = \dfrac{e-x}{ex}
$$
步骤 3：分析单调性
根据导数的符号，分析函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的单调性。
当 $x \in (0,e)$ 时，$f'(x) > 0$，函数 $f(x)$ 在 $(0,e)$ 上递增。
当 $x \in (e,+\infty)$ 时，$f'(x) < 0$，函数 $f(x)$ 在 $(e,+\infty)$ 上递减。
步骤 4：确定极值点
确定函数 $f(x)$ 的极值点，并计算该点的函数值。
当 $x = e$ 时，$f'(x) = 0$，函数 $f(x)$ 在 $x = e$ 处取得极大值。
$$
f(e) = \ln e - \dfrac{e}{e} + \dfrac{1}{2} = 1 - 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}
$$
步骤 5：分析函数值
分析函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的函数值，确定实根的个数。
当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) \to -\infty$。
当 $x \to +\infty$ 时，$f(x) \to -\infty$。
由于 $f(e) = \dfrac{1}{2} > 0$，且函数 $f(x)$ 在 $(0,e)$ 上递增，在 $(e,+\infty)$ 上递减，因此方程 $\ln x-\dfrac {x}{e}+\dfrac {1}{2}=0$ 在 $(0,+\infty )$ 内有且仅有两个实根。