题目
[判断题]设lim _(zarrow {z)_(0)}f(z)=A,那么f(z)在lim _(zarrow {z)_(0)}f(z)=A的某一个去心邻域内是有界的。A 对B 错
[判断题]设
,那么f(z)在
的某一个去心邻域内是有界的。
A 对
B 错
题目解答
答案
*：这表示当复数z趋近于时，函数f(z)的值趋近于A。
* 需要在的某一个去心邻域内判断 f(z) 是否有界。
根据极限的定义和性质进行推理：
1. 极限的存在性意味着，对于任意给定的正数
，都存在一个以为中心、半径为 
（ 与有关）的去心邻域 
，使得在该邻域内
。
2. 由于,可以进一步推导出 
。这里，利用绝对值不等式的性质 
。
3. 注意到 
是一个与 z无关的正数（在给定 的情况下），它给出了f(z) 在去心邻域内的一个上界。同时，由于f(z) 是复数函数，其值总是有限的（即不存在无穷大或无穷小的情况），因此它自然也有一个下界（比如某个足够小的负数，但这不影响其有界性的判断）。
综上所述，函数 f(z)在的某一个去心邻域内确实是有界的。
因此，答案是 A 对。
解析
步骤 1：理解极限的定义
$\lim _{z\rightarrow {z}_{0}}f(z)=A$：这表示当复数z趋近于${z}_{0}$时，函数f(z)的值趋近于A。
步骤 2：确定去心邻域内的有界性
需要在${z}_{0}$的某一个去心邻域内判断 f(z) 是否有界。
步骤 3：应用极限的性质
根据极限的定义和性质进行推理：
1. 极限$\lim _{z\rightarrow {z}_{0}}f(z)=A$的存在性意味着，对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在一个以${z}_{0}$为中心、半径为$\delta$（$\delta$与$\epsilon$有关）的去心邻域 $0\lt |z-{z}_{0}|\lt \delta$，使得在该邻域内$|f(z)-A|\lt \epsilon$。
2. 由于$|f(z)-A|\lt \epsilon$，可以进一步推导出 $|f(z)|\lt |A|+\epsilon$。这里，利用绝对值不等式的性质 $|a-b|\lt c\Longrightarrow |a|\lt |b|+c$。
3. 注意到 $|A|+\epsilon$ 是一个与 z无关的正数（在给定 $\epsilon$的情况下），它给出了f(z) 在去心邻域$0\lt |z-{z}_{0}|\lt \delta$内的一个上界。同时，由于f(z) 是复数函数，其值总是有限的（即不存在无穷大或无穷小的情况），因此它自然也有一个下界（比如某个足够小的负数，但这不影响其有界性的判断）。
$\lim _{z\rightarrow {z}_{0}}f(z)=A$：这表示当复数z趋近于${z}_{0}$时，函数f(z)的值趋近于A。
步骤 2：确定去心邻域内的有界性
需要在${z}_{0}$的某一个去心邻域内判断 f(z) 是否有界。
步骤 3：应用极限的性质
根据极限的定义和性质进行推理：
1. 极限$\lim _{z\rightarrow {z}_{0}}f(z)=A$的存在性意味着，对于任意给定的正数$\epsilon$，都存在一个以${z}_{0}$为中心、半径为$\delta$（$\delta$与$\epsilon$有关）的去心邻域 $0\lt |z-{z}_{0}|\lt \delta$，使得在该邻域内$|f(z)-A|\lt \epsilon$。
2. 由于$|f(z)-A|\lt \epsilon$，可以进一步推导出 $|f(z)|\lt |A|+\epsilon$。这里，利用绝对值不等式的性质 $|a-b|\lt c\Longrightarrow |a|\lt |b|+c$。
3. 注意到 $|A|+\epsilon$ 是一个与 z无关的正数（在给定 $\epsilon$的情况下），它给出了f(z) 在去心邻域$0\lt |z-{z}_{0}|\lt \delta$内的一个上界。同时，由于f(z) 是复数函数，其值总是有限的（即不存在无穷大或无穷小的情况），因此它自然也有一个下界（比如某个足够小的负数，但这不影响其有界性的判断）。