求通过直线且与平面 垂直的平面的方程.

考查要点：本题主要考查空间几何中平面方程的求解，涉及直线的方向向量、平面法向量的性质，以及平面与平面垂直的条件。

解题核心思路：

1. 确定所求平面的法向量：需满足两个条件：
   • 与给定直线的方向向量垂直；
   • 与已知平面π11的法向量垂直。
2. 利用叉乘求法向量：通过直线方向向量与平面π11的法向量的叉乘得到所求平面的法向量。
3. 确定平面上的点：取直线上一点代入平面方程。

破题关键点：

• 直线方向向量的提取；
• 平面垂直条件转化为法向量点积为零；
• 叉乘运算的正确性。

步骤1：提取直线方向向量

直线方程为$\dfrac{x}{4} = \dfrac{y+2}{-1} = \dfrac{z+2}{-3}$，其方向向量为$\overrightarrow{s} = (4, -1, -3)$。

步骤2：确定已知平面的法向量

平面π11的方程为$x + y + z = 0$，其法向量为$\overrightarrow{n_1} = (1, 1, 1)$。

步骤3：求所求平面的法向量

所求平面需同时满足：

1. 与直线方向向量$\overrightarrow{s}$垂直；
2. 与平面π11的法向量$\overrightarrow{n_1}$垂直。

通过叉乘计算法向量：
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{s} \times \overrightarrow{n_1} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\4 & -1 & -3 \\1 & 1 & 1\end{vmatrix} = (2, -7, 5)$

步骤4：确定平面上的点

取直线上一点$(0, -2, -2)$（令参数为0时的坐标）。

步骤5：写出平面方程

利用点法式方程：
$2(x - 0) - 7(y + 2) + 5(z + 2) = 0$
化简得：
$2x - 7y + 5z = 4$