1.计算下列二重积分:-|||-(3) int ((x)^3+3(x)^2y+(y)^3)dalpha , 其中 = (x,y)|0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 ;

步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 是一个在 $x$ 和 $y$ 方向上从 $0$ 到 $1$ 的矩形区域，即 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 和 $0 \leqslant y \leqslant 1$。

步骤 2：设置二重积分
根据题目，我们需要计算二重积分 $\iint_D (x^3 + 3x^2y + y^3) \, dx \, dy$。由于积分区域是矩形，我们可以将二重积分写成两个单积分的乘积形式，即 $\int_0^1 \int_0^1 (x^3 + 3x^2y + y^3) \, dx \, dy$。

步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分 $\int_0^1 (x^3 + 3x^2y + y^3) \, dx$。将 $y$ 视为常数，对 $x$ 积分：
\[
\int_0^1 (x^3 + 3x^2y + y^3) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^3y + xy^3 \right]_0^1 = \frac{1}{4} + y + y^3
\]

步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分 $\int_0^1 \left( \frac{1}{4} + y + y^3 \right) \, dy$：
\[
\int_0^1 \left( \frac{1}{4} + y + y^3 \right) \, dy = \left[ \frac{y}{4} + \frac{y^2}{2} + \frac{y^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1
\]