题目
设sum_(n=1)^infty u_n = S，则按某一规律对级数添括号后，所得级数______.A. 仍收敛于原来的和 SB. 仍收敛，但不一定收敛于原来的和C. 不一定收敛D. 一定发散
设$\sum_{n=1}^{\infty} u_n = S$，则按某一规律对级数添括号后，所得级数______.
A. 仍收敛于原来的和 $S$
B. 仍收敛，但不一定收敛于原来的和
C. 不一定收敛
D. 一定发散
题目解答
答案
A. 仍收敛于原来的和 $S$
解析
步骤 1：理解级数收敛的定义
级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n = S$ 收敛意味着其部分和 $S_N = \sum_{n=1}^N u_n$ 趋近于 $S$，即 $\lim_{N \to \infty} S_N = S$。
步骤 2：添加括号后级数的性质
添加括号后，新级数的每一项是原级数连续项的和。设新级数的第 $M$ 项为 $v_M = \sum_{n=k_{M-1}+1}^{k_M} u_n$，其中 $k_M$ 是原级数中第 $M$ 个括号的结束项的下标。新级数的部分和 $T_M = \sum_{m=1}^M v_m$ 对应原级数前 $k_M$ 项和，即 $T_M = S_{k_M}$。
步骤 3：新级数的收敛性
由于 $k_M \to \infty$，故 $T_M = S_{k_M} \to S$。因此，新级数收敛于原和 $S$。
级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n = S$ 收敛意味着其部分和 $S_N = \sum_{n=1}^N u_n$ 趋近于 $S$，即 $\lim_{N \to \infty} S_N = S$。
步骤 2：添加括号后级数的性质
添加括号后，新级数的每一项是原级数连续项的和。设新级数的第 $M$ 项为 $v_M = \sum_{n=k_{M-1}+1}^{k_M} u_n$，其中 $k_M$ 是原级数中第 $M$ 个括号的结束项的下标。新级数的部分和 $T_M = \sum_{m=1}^M v_m$ 对应原级数前 $k_M$ 项和，即 $T_M = S_{k_M}$。
步骤 3：新级数的收敛性
由于 $k_M \to \infty$，故 $T_M = S_{k_M} \to S$。因此，新级数收敛于原和 $S$。