题目
设随机变量X的密度函数为f(x)= { x, 0lt xlt 2 0, .;(3) E(2X+1)与DX.
设随机变量X的密度函数为
,求:(1)X的分布函数F(x);(2)
;(3) E(2X+1)与DX.
题目解答
答案
解:(1)当x<0时,F(x)=0.
当
时,
.
当
时,
.
所以,X的分布函数为: 
.
(2)
=
或=
(3)因为
,
,所以,
;
.
解析
步骤 1：求X的分布函数F(x)
根据分布函数的定义，$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。对于给定的密度函数$f(x)$，我们需要分段考虑$x$的取值范围。
步骤 2：求$P(-1\lt X\leqslant \dfrac {1}{2})$
根据概率的定义，$P(-1\lt X\leqslant \dfrac {1}{2}) = F(\dfrac{1}{2}) - F(-1)$。由于$f(x)$在$x<0$时为0，$F(-1)$为0。
步骤 3：求E(2X+1)与DX
根据期望和方差的定义，$E(2X+1) = 2E(X) + 1$，$DX = E(X^2) - [E(X)]^2$。其中$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$，$E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx$。
根据分布函数的定义，$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。对于给定的密度函数$f(x)$，我们需要分段考虑$x$的取值范围。
步骤 2：求$P(-1\lt X\leqslant \dfrac {1}{2})$
根据概率的定义，$P(-1\lt X\leqslant \dfrac {1}{2}) = F(\dfrac{1}{2}) - F(-1)$。由于$f(x)$在$x<0$时为0，$F(-1)$为0。
步骤 3：求E(2X+1)与DX
根据期望和方差的定义，$E(2X+1) = 2E(X) + 1$，$DX = E(X^2) - [E(X)]^2$。其中$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$，$E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx$。