题目
设连续型随机变量X的分布函数为-|||-.F(x)= ^4), xgeqslant 1 0, xlt 1
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导得到概率密度函数
根据分布函数F(x)的定义，我们可以通过求导得到概率密度函数f(x)。对于x ≥ 1，我们有：
f(x) = F'(x) = $\dfrac{d}{dx}\left(1-\dfrac{1}{{x}^{4}}\right)$ = $\dfrac{4}{{x}^{5}}$。
对于x < 1，由于F(x) = 0，其导数也为0，因此f(x) = 0。
步骤 2：计算数学期望
数学期望E(X)的计算公式为：
E(X) = $\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx$。
由于f(x)在x < 1时为0，我们只需考虑x ≥ 1的情况。因此，数学期望的计算变为：
E(X) = $\int_{1}^{+\infty} x \cdot \dfrac{4}{{x}^{5}} dx$ = $\int_{1}^{+\infty} \dfrac{4}{{x}^{4}} dx$。
步骤 3：计算积分
计算上述积分，我们得到：
E(X) = $\int_{1}^{+\infty} \dfrac{4}{{x}^{4}} dx$ = $-\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{{x}^{3}} \Big|_{1}^{+\infty}$ = $-\dfrac{4}{3} \cdot \left(0 - 1\right)$ = $\dfrac{4}{3}$。
根据分布函数F(x)的定义，我们可以通过求导得到概率密度函数f(x)。对于x ≥ 1，我们有：
f(x) = F'(x) = $\dfrac{d}{dx}\left(1-\dfrac{1}{{x}^{4}}\right)$ = $\dfrac{4}{{x}^{5}}$。
对于x < 1，由于F(x) = 0，其导数也为0，因此f(x) = 0。
步骤 2：计算数学期望
数学期望E(X)的计算公式为：
E(X) = $\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx$。
由于f(x)在x < 1时为0，我们只需考虑x ≥ 1的情况。因此，数学期望的计算变为：
E(X) = $\int_{1}^{+\infty} x \cdot \dfrac{4}{{x}^{5}} dx$ = $\int_{1}^{+\infty} \dfrac{4}{{x}^{4}} dx$。
步骤 3：计算积分
计算上述积分，我们得到：
E(X) = $\int_{1}^{+\infty} \dfrac{4}{{x}^{4}} dx$ = $-\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{{x}^{3}} \Big|_{1}^{+\infty}$ = $-\dfrac{4}{3} \cdot \left(0 - 1\right)$ = $\dfrac{4}{3}$。