5.设A,B为同阶可逆矩阵，且A^-1+B^-1是可逆矩阵，证明A+B是可逆矩阵，并求(A+B)^-1=?

考查要点：本题主要考查矩阵的可逆性及逆矩阵的运算性质，需要灵活运用矩阵分解和恒等变换来推导结果。

解题核心思路：

1. 分解矩阵：将$A+B$分解为可逆矩阵的乘积形式，如$A(E + A^{-1}B)$或$B(B^{-1}A + E)$，利用已知条件证明其可逆性。
2. 构造恒等式：通过恒等式$A^{-1} + B^{-1} = A^{-1}(A+B)B^{-1}$，建立$A+B$与$A^{-1} + B^{-1}$的联系，进而求逆。

破题关键点：

• 分解技巧：选择合适的分解方式，将$A+B$表示为已知可逆矩阵的组合。
• 逆矩阵运算：利用逆矩阵的乘积性质，结合恒等式推导出$(A+B)^{-1}$的表达式。

步骤1：分解矩阵$A+B$
将$A+B$分解为两种形式：

1. $A + B = A(E + A^{-1}B)$
2. $A + B = B(B^{-1}A + E)$

步骤2：证明可逆性
由于$A$和$B$可逆，若$E + A^{-1}B$或$B^{-1}A + E$可逆，则$A+B$可逆。结合题目中$A^{-1} + B^{-1}$可逆的条件，进一步推导。

步骤3：构造恒等式
利用恒等式：
$A^{-1} + B^{-1} = A^{-1}(A + B)B^{-1}$
两边取逆得：
$(A^{-1} + B^{-1})^{-1} = B(A + B)^{-1}A$

步骤4：解方程求$(A+B)^{-1}$
将等式变形为：
$(A + B)^{-1} = B^{-1}(A^{-1} + B^{-1})^{-1}A^{-1}$