题目
导数可用来自求解一些切线方程、法线方程问题A. 对B. 错
导数可用来自求解一些切线方程、法线方程问题
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
本题考查导数的几何意义及应用,解题思路是明确导数的几何意义,再根据其与切线方程、法线方程的关系来判断该说法的正确性。
- 明确导数的几何意义:
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数$f^\prime(x_0)$的几何意义是曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。 - 推导切线方程:
已知曲线$y = f(x)$上一点$(x_0,f(x_0))$以及该点处切线的斜率$k = f^\prime(x_0)$,根据直线的点斜式方程$y - y_1 = k(x - x_1)$(其中$(x_1,y_1)$为直线上一点,$k$为直线斜率),可得曲线在该点处的切线方程为$y - f(x_0) = f^\prime(x_0)(x - x_0)$。 - 推导法线方程:
因为曲线在某点处的法线与切线垂直,若切线斜率$k = f^\prime(x_0)\neq0$,则法线斜率$k_{法}=-\frac{1}{f^\prime(x_0)}$,同样根据直线的点斜式方程,可得曲线在点$(x_0,f(x_0))$处的法线方程为$y - f(x_0)=-\frac{1}{f^\prime(x_0)}(x - x_0)$;当$f^\prime(x_0)=0$时,切线平行于$x$轴,法线垂直于$x$轴,法线方程为$x = x_0$。
由此可见,导数确实可用于求解一些切线方程、法线方程问题,所以该说法是正确的。