题目
lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sin x)= )-|||-__lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sin x)= )-|||-__不存在lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sin x)= )-|||-__lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sin x)= )-|||-__lim _(xarrow 0)dfrac (sin 4x)(sin x)= )-|||-__
不存在
题目解答
答案
当
时，
,即
，又因为
，所以
故本题选
。
解析
步骤 1：利用等价无穷小替换
当$x\rightarrow 0$时，$\sin 4x\sim 4x$，$\sin x\sim x$。这意味着当$x$趋近于$0$时，$\sin 4x$和$4x$是等价的，$\sin x$和$x$也是等价的。
步骤 2：替换并简化
将$\sin 4x$和$\sin x$替换为它们的等价无穷小，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin 4x}{\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x}{x}$。
步骤 3：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}4=4$。
当$x\rightarrow 0$时，$\sin 4x\sim 4x$，$\sin x\sim x$。这意味着当$x$趋近于$0$时，$\sin 4x$和$4x$是等价的，$\sin x$和$x$也是等价的。
步骤 2：替换并简化
将$\sin 4x$和$\sin x$替换为它们的等价无穷小，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin 4x}{\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x}{x}$。
步骤 3：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}4=4$。