已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2-2y^2+z^2-4x+2z-5=0确定，求(partial z)/(partial x),(partial z)/(partial y).

我们已知隐函数 $ z = z(x, y) $ 由方程 $$ x^2 - 2y^2 + z^2 - 4x + 2z - 5 = 0 $$ 确定，要求偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} $。 --- ### 步骤 1：对方程两边分别对 $ x $ 和 $ y $ 求偏导 由于 $ z $ 是 $ x $ 和 $ y $ 的函数，即 $ z = z(x, y) $，因此在对 $ x $ 或 $ y $ 求偏导时，需要使用**链式法则**。 #### 1. 求 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 对原方程两边关于 $ x $ 求偏导： $$ \frac{\partial}{\partial x} \left( x^2 - 2y^2 + z^2 - 4x + 2z - 5 \right) = 0 $$ 逐项求导： - $ \frac{\partial}{\partial x} x^2 = 2x $ - $ \frac{\partial}{\partial x} (-2y^2) = 0 $ - $ \frac{\partial}{\partial x} z^2 = 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} $ - $ \frac{\partial}{\partial x} (-4x) = -4 $ - $ \frac{\partial}{\partial x} 2z = 2 \cdot \frac{\partial z}{\partial x} $ - $ \frac{\partial}{\partial x} (-5) = 0 $ 将这些代入： $$ 2x + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial x} - 4 + 2 \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0 $$ 整理： $$ (2z + 2) \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 4 - 2x $$ 解出 $ \frac{\partial z}{\partial x} $： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{4 - 2x}{2z + 2} = \frac{2(2 - x)}{2(z + 1)} = \frac{2 - x}{z + 1} $$ --- #### 2. 求 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 对原方程两边关于 $ y $ 求偏导： $$ \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2 - 2y^2 + z^2 - 4x + 2z - 5 \right) = 0 $$ 逐项求导： - $ \frac{\partial}{\partial y} x^2 = 0 $ - $ \frac{\partial}{\partial y} (-2y^2) = -4y $ - $ \frac{\partial}{\partial y} z^2 = 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} $ - $ \frac{\partial}{\partial y} (-4x) = 0 $ - $ \frac{\partial}{\partial y} 2z = 2 \cdot \frac{\partial z}{\partial y} $ - $ \frac{\partial}{\partial y} (-5) = 0 $ 代入： $$ -4y + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} + 2 \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0 $$ 整理： $$ (2z + 2) \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 4y $$ 解出 $ \frac{\partial z}{\partial y} $： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{4y}{2z + 2} = \frac{2y}{z + 1} $$ --- ### 最终答案： $$ \boxed{ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2 - x}{z + 1}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{z + 1} } $$ 这就是所求的两个偏导数。