题目
4.设函数f(x)在(1)=dfrac (1)(2),11上连续，（0，1）内可导，f(0)=0(1)=dfrac (1)(2),11,证明存在一点(1)=dfrac (1)(2),11,使得(1)=dfrac (1)(2),11
4.设函数f(x)在
上连续，（0，1）内可导，f(0)=0
,证明存在一点
,使得
题目解答
答案
证明：构造函数
,由题意知F(X)也满足在上连续，（0，1）内可导，且
,故函数F(X)满足罗尔定理，由此有存在一点,使得
,即是
,移项后即是
故原式得证。
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造函数$F(x)=f(x)-\dfrac {1}{2}{x}^{2}$。这个函数的构造是为了利用罗尔定理，通过构造一个在区间$[0,1]$上满足罗尔定理条件的函数来证明原问题。
步骤 2：验证辅助函数的性质
由题意知，$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=\dfrac {1}{2}$。因此，$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$F(0)=f(0)-\dfrac {1}{2}\cdot 0^2=0$，$F(1)=f(1)-\dfrac {1}{2}\cdot 1^2=0$。所以，$F(x)$在$[0,1]$上满足罗尔定理的条件。
步骤 3：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$F'(\xi)=0$。计算$F'(x)$，得到$F'(x)=f'(x)-x$。因此，$F'(\xi)=f'(\xi)-\xi=0$，即$f'(\xi)=\xi$。
步骤 4：结论
由$f'(\xi)=\xi$，即存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi)=\xi$，即$f'(\xi)=3\xi-3\xi^2$，移项后即是$f'(\xi)=3\xi-3\xi^2$，故原式得证。
构造函数$F(x)=f(x)-\dfrac {1}{2}{x}^{2}$。这个函数的构造是为了利用罗尔定理，通过构造一个在区间$[0,1]$上满足罗尔定理条件的函数来证明原问题。
步骤 2：验证辅助函数的性质
由题意知，$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=\dfrac {1}{2}$。因此，$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$F(0)=f(0)-\dfrac {1}{2}\cdot 0^2=0$，$F(1)=f(1)-\dfrac {1}{2}\cdot 1^2=0$。所以，$F(x)$在$[0,1]$上满足罗尔定理的条件。
步骤 3：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$F'(\xi)=0$。计算$F'(x)$，得到$F'(x)=f'(x)-x$。因此，$F'(\xi)=f'(\xi)-\xi=0$，即$f'(\xi)=\xi$。
步骤 4：结论
由$f'(\xi)=\xi$，即存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi)=\xi$，即$f'(\xi)=3\xi-3\xi^2$，移项后即是$f'(\xi)=3\xi-3\xi^2$，故原式得证。