6.证明:-|||-a^2 ab b^2 1-|||-(1) 2a a+b 2b =(a-b)^3.-|||-1 1 1-|||-ax+by ay+bz az+bx 1 x y z-|||-(2) ay+bz az+bx x+by =(a^3+b^3) y z x-|||-az+bx ax+by ay+bz z x y-|||-a^2 ((a+1))^2 ((a+2))^2 ((a+3))^2-|||-b^2 ((b+1))^2 ((b+2))^2 ((b+3))^2 =0.-|||-(3)-|||-c^2 ((c+1))^2 ((c+2))^2 ((c+3))^2-|||-d^2 ((d+1))^2 ((d+2))^2 ((d+3))^2-|||-1 1 1 1-|||-(4) a^4 b^2 c^2 d^2 =(a-b)(a-c)(a -d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).-|||-a b C d-|||-a^4 b^4 c^4 d^4-|||-x -1 0 0-|||-(5) 0 x -1 0 =(a)_(3)(x)^3+(a)_(2)(x)^2+(a)_(1)x+(a)_(0).-|||-0 0 x -1-|||-ao a1 a2 a3

考查要点：
本题主要考查行列式的性质与展开技巧，包括行列式的拆分、列变换、因式分解以及多项式展开等方法。

解题核心思路：

1. 第（2）题：通过行列式的拆分，将原行列式分解为两个行列式的和，利用列成比例时行列式为零的性质简化计算。
2. 第（3）题：通过列变换构造出全零行或列，直接得出行列式为零。
3. 第（4）题：通过行变换提取公因式，逐步分解行列式为多个线性因子的乘积。
4. 第（5）题：通过行列式的展开，结合多项式展开规则，直接计算得到结果。

第（2）题

关键步骤：

1. 拆分行列式：将原行列式拆分为两个行列式的和：
   $D = \begin{vmatrix} ax+by & ay+bz & az+bx \\ ay+bz & az+bx & ax+by \\ az+bx & ax+by & ay+bz \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} ax & ay & az \\ ay & az & ax \\ az & ax & ay \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} by & bz & bx \\ bz & bx & by \\ bx & by & bz \end{vmatrix}$
2. 提取公因子：每个行列式中提取公因子$a^3$和$b^3$，最终得到：
   $D = a^3 \begin{vmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{vmatrix} + b^3 \begin{vmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{vmatrix} = (a^3 + b^3) \begin{vmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{vmatrix}$

第（3）题

关键步骤：

1. 列变换：对列进行减法操作，例如$c_2 - c_1$，$c_3 - c_1$，$c_4 - c_1$，得到某一行全为零。
2. 行列式性质：若行列式中某两列成比例或某行全零，则行列式值为零。

第（4）题

关键步骤：

1. 行变换：通过$r_4 - a r_3$，$r_3 - a r_2$等操作，提取公因子$(b-a)(c-a)(d-a)$。
2. 因式分解：进一步分解剩余部分为$(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d)$，最终得到：
   $|D| = (a-b)(b-c)(c-d)(a-d)(b-d)(a+b+c+d)$

第（5）题

关键步骤：

1. 行列式展开：按最后一列展开，结合多项式展开规则，逐层展开得到：
   $|D| = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$