设 I=iint_(S)(1)/(x^2)+y^(2),dS，S: x^2+y^2=R^2, 0 leq z leq R，则有(）。A. I=(2pi)/(R)B. I=piC. I=(pi)/(R)D. I=2pi

本题考查第一类曲面积分的计算。解题思路是先根据曲面$S$的方程确定其参数方程，再求出曲面的面积元素$dS$，最后将被积函数和$dS$代入曲面积分公式进行计算。

已知曲面$S$的方程为$x^{2}+y^{2}=R^{2}, 0 \leq z \leq R$，可利用柱坐标来表示该曲面。在柱坐标下，$x = R\cos\theta$，$y = R\sin\theta$，$z = z$，其中$0\leq\theta\leq 2\pi$，$0\leq z\leq R$。

1. 求曲面的面积元素$dS$：
   对于柱面$x = R\cos\theta$，$y = R\sin\theta$，$z = z$，其参数方程为$\vec{r}(\theta,z)=R\cos\theta\vec{i}+R\sin\theta\vec{j}+z\vec{k}$。
   分别对$\theta$和$z$求偏导数：
   $\vec{r}_{\theta}=-R\sin\theta\vec{i}+R\cos\theta\vec{j}+0\vec{k}$
   $\vec{r}_{z}=0\vec{i}+0\vec{j}+1\vec{k}$
   然后求$\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z}$：
   $\begin{align*}\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z}&=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\-R\sin\theta & R\cos\theta & 0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}\\&=\vec{i}(R\cos\theta - 0) - \vec{j}(-R\sin\theta - 0) + \vec{k}(0 - 0)\\&=R\cos\theta\vec{i}+R\sin\theta\vec{j}\end{align*}$
   再求$\vert\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z}\vert$：
   $\begin{align*}\vert\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z}\vert&=\sqrt{(R\cos\theta)^2 + (R\sin\theta)^2}\\&=\sqrt{R^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}\\&=\sqrt{R^2}\\&=R\end{align*}$
   所以$dS = \vert\vec{r}_{\theta}\times\vec{r}_{z}\vert d\theta dz = R d\theta dz$。

2. 将被积函数和$dS$代入曲面积分进行计算：
   已知被积函数$f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$，将$x = R\cos\theta$，$y = R\sin\theta$代入可得$f(R\cos\theta,R\sin\theta)=\frac{1}{R^2\cos^2\theta + R^2\sin^2\theta}=\frac{1}{R^2}$。
   则$I=\iint_{S}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dS=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}\frac{1}{R^2}\cdot R dz$。
   先计算内层积分$\int_{0}^{R}\frac{1}{R^2}\cdot R dz$：
   $\begin{align*}\int_{0}^{R}\frac{1}{R^2}\cdot R dz&=\frac{1}{R}\int_{0}^{R} dz\\&=\frac{1}{R}\cdot z\big|_{0}^{R}\\&=\frac{1}{R}\cdot (R - 0)\\&=1\end{align*}$
   再计算外层积分$\int_{0}^{2\pi}1 d\theta$：
   $\begin{align*}\int_{0}^{2\pi}1 d\theta&=\theta\big|_{0}^{2\pi}\\&=2\pi - 0\\&=2\pi\end{align*}$