利用留数计算实积分 int_(0)^infty (dx)/((x^2 + 1)^2) 的值为(）A. (pi)/(3)B. (pi)/(4)C. (pi)/(2)D. pi

考查要点：本题主要考查利用复分析中的留数定理计算实积分的能力，涉及对积分路径的延拓和奇点分析。

解题核心思路：

1. 积分区间延拓：将原积分从$[0, +\infty)$延拓为$(-\infty, +\infty)$，利用被积函数的偶性简化计算。
2. 复积分转化：构造复积分$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$，通过围道积分计算其值。
3. 留数计算：确定奇点位置（$z=i$），计算该点的留数，结合围道积分公式得到结果。

破题关键点：

• 奇点选择：被积函数在复平面内的奇点为$z=i$（二阶极点）。
• 围道积分公式：利用$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, i)$。

步骤1：积分区间延拓

原积分$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$可表示为$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$，利用被积函数的偶性。

步骤2：构造复积分

考虑复积分$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(z^2+1)^2} dz$，其围道为上半平面的大圆弧闭合路径。

步骤3：确定奇点与留数计算

被积函数在$z=i$处有二阶极点。计算留数：
$\text{Res}\left(\frac{1}{(z^2+1)^2}, z=i\right) = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} \left[ (z-i)^2 \cdot \frac{1}{(z^2+1)^2} \right]$
化简后得$\text{Res} = \frac{\pi}{4}$。

步骤4：应用围道积分公式

积分结果为$2\pi i \cdot \text{Res} = \frac{\pi}{2}$，因此原积分$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{4}$。