题目
定积分int_0^3(sqrt(9-{x^2))}dx的值为 ____ ．
定积分$\int_0^3$${\sqrt{9-{x^2}}}$dx的值为 ____ ．
题目解答
答案
解：由定积分的几何意义，定积分$\int_0^3$${\sqrt{9-{x^2}}}$dx为以原点为圆心，3为半径的圆面积的$\frac{1}{4}$．面积为$\frac{1}{4}π×{3}^{2}$=$\frac{9}{4}π$；
故答案为：$\frac{9}{4}π$．
故答案为：$\frac{9}{4}π$．
解析
步骤 1：理解定积分的几何意义
定积分$\int_0^3$${\sqrt{9-{x^2}}}$dx表示的是函数$y=\sqrt{9-x^2}$在区间[0,3]上的积分，其几何意义是该函数图像与x轴在区间[0,3]上所围成的面积。
步骤 2：确定函数图像
函数$y=\sqrt{9-x^2}$是圆$x^2+y^2=9$的上半部分，即圆心在原点，半径为3的圆的上半部分。
步骤 3：计算定积分的值
由于定积分$\int_0^3$${\sqrt{9-{x^2}}}$dx表示的是圆$x^2+y^2=9$的上半部分在区间[0,3]上的面积，即圆面积的$\frac{1}{4}$，因此定积分的值为$\frac{1}{4}π×{3}^{2}$=$\frac{9}{4}π$。
定积分$\int_0^3$${\sqrt{9-{x^2}}}$dx表示的是函数$y=\sqrt{9-x^2}$在区间[0,3]上的积分，其几何意义是该函数图像与x轴在区间[0,3]上所围成的面积。
步骤 2：确定函数图像
函数$y=\sqrt{9-x^2}$是圆$x^2+y^2=9$的上半部分，即圆心在原点，半径为3的圆的上半部分。
步骤 3：计算定积分的值
由于定积分$\int_0^3$${\sqrt{9-{x^2}}}$dx表示的是圆$x^2+y^2=9$的上半部分在区间[0,3]上的面积，即圆面积的$\frac{1}{4}$，因此定积分的值为$\frac{1}{4}π×{3}^{2}$=$\frac{9}{4}π$。