题目
5 (10分) 求初值问题}(dy)/(dx)=sqrt(x^2)-x^{2y^2+1-y^2)y(0)=-(1)/(2).的解.
5 (10分) 求初值问题$\left\{\begin{matrix}\frac{dy}{dx}=\sqrt{x^{2}-x^{2}y^{2}+1-y^{2}}\\y(0)=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$的解.
题目解答
答案
将微分方程重写为：
\[
\frac{dy}{dx} = \sqrt{(x^2 + 1)(1 - y^2)}.
\]
分离变量并积分：
\[
\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \int \sqrt{x^2 + 1} \, dx.
\]
左端积分为 $\arcsin y$，右端积分为：
\[
\frac{1}{2} \left( x \sqrt{x^2 + 1} + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \right) + C.
\]
由初始条件 $y(0) = -\frac{1}{2}$ 求得 $C = -\frac{\pi}{6}$，故解为：
\[
\arcsin y = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{x^2 + 1} + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \right) - \frac{\pi}{6}.
\]
取正弦得：
\[
\boxed{y = \sin \left( \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) - \frac{\pi}{6} \right)}.
\]