题目

设A= (} 1& 0& 2 0& 1& 2 2& 2& -1AP=A :(3)求A^2009.

$\begin{aligned} 设A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\2&2&-1\end{pmatrix},(1)求A的特征值和对应的特征向量;\$2)求正交阵P与对角阵\Lambda,使得P^{-1}AP=\Lambda:(3)求A^{2009}. \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &第一部分:求A的特征值和对应的特征向量 \\ &\text{给定矩阵 }A: \\ &A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\2&2&-1\end{pmatrix} \\ &步骤1:求特征值 \\ &\text{特征值 }\lambda\text{ 通过解特征方程}\det(A-\lambda I)=0\text{ 来找} \\ &到。 \\ &A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda&0&2\\0&1-\lambda&2\\2&2&-1-\lambda\end{pmatrix} \\ &\text{计算行列式:} \\ &\operatorname*{det}(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}1-\lambda&0&2\\0&1-\lambda&2\\2&2&-1-\lambda\end{vmatrix} \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\text{沿着第一行展开:} \\ &\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\2&-1-\lambda\end{vmatrix}- \\ &0+2\begin{vmatrix}0&1-\lambda\\2&2\end{vmatrix} \\ &计算2×2行列式: \\ &\begin{vmatrix}1-\lambda&2\\2&-1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)(-1-\lambda)-4= \\ &\lambda^{2}-1-4=\lambda^{2}-5 \\ &\begin{vmatrix}0&1-\lambda\\2&2\end{vmatrix}=0-2(1-\lambda)=-2+2\lambda \\ &代入行列式表达式: \\ &\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-5)+2(2\lambda-2) \\ &=\lambda^{3}-5\lambda-\lambda^{2}+5+4\lambda-4 \\ &=\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1 \\ &\text{将特征多项式设为零:} \\ &\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1=0 \\ &\text{解这个三次方程,我们找到特征值:} \\ &\lambda_1=1,\quad\lambda_2=-1,\quad\lambda_3=-1 \end{aligned}$ $\begin{aligned} &步骤2:求特征向量 \\ &\text{对于}\lambda_{1}=1: \\ &A-I=\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&2\\2&2&-2\end{pmatrix} \\ &\text{解}\left(A-I\right)\mathbf{v}=0: \\ &\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&2\\2&2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \\ &\text{这给出 }2z=0\Rightarrow z=0\text{ 和 }2x+2y=0\Rightarrow \\ &x=-y\text{。因此,特征向量是:} \\ &\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\text{对于 }\lambda_{2}=-1: \\ &A+I=\begin{pmatrix}2&0&2\\0&2&2\\2&2&0\end{pmatrix} \\ &\text{解}\left(A+I\right)\mathbf{v}=0: \\ &\begin{pmatrix}2&0&2\\0&2&2\\2&2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \\ &\text{这给出 }2x+2z=0\Rightarrow x=-z\text{ 和 }2y+2z= \\ &0\Rightarrow y=-z\text{。因此,特征向量是:} \\ &\mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix} \\ &\text{由于 }\lambda_2\text{ 有重数 2,我们需要另一个线性独立的特征} \\ &\text{向量。我们可以选择:} \\ &\mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \end{aligned}$ $\begin{aligned} &第二部分:求正交阵P和对角阵\Lambda \\ &正交阵P由正规化的特征向量组成: \\ &P=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\0&-\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \\ &对角阵\Lambda 是: \\ &\Lambda=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \end{aligned}$ $\begin{aligned} &第三部分:求A^{2009} \\ &\text{使用对角化 }A=P\Lambda P^{-1}\text{,我们有} \\ &A^{2009}=(P\Lambda P^{-1})^{2009}=P\Lambda^{2009}P^{-1} \\ &\text{计算 }\Lambda^{2009}: \\ &\Lambda^{2009}=\left(\begin{matrix}{1^{2009}}&{0}&{0}\\{0}&{(-1)^{2009}}&{0}\\{0}&{0}&{(-1)^{2009}}\\\end{matrix}\right)= \\ &\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \\ &因此: \\ &A^{2009}=P\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}P^{-1}= \\ &P\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}P^{-1} \\ &\text{由于 }P\text{ 是正交的,}P^{-1}=P^{T}\text{。因此:} \\ &A^{2009}=P\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}P^{T} \end{aligned}$