在每次试验中,事件A发生的概率为0.5,利用切比雪夫不等式估计,-|||-在1000次独立重复试验中,事件A发生的次数在 sim 600 之间的概率.

考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式的应用，要求利用该不等式估计二项分布随机变量落在某个区间内的概率下界。

解题核心思路：

1. 确定随机变量分布：明确事件A发生次数$X$服从二项分布$B(n,p)$，计算其期望$E(X)$和方差$D(X)$。
2. 应用切比雪夫不等式：将题目中的区间转化为对均值的偏差范围，确定参数$\varepsilon$，代入不等式公式计算概率下界。

破题关键点：

• 正确计算期望和方差：二项分布的期望$E(X)=np$，方差$D(X)=np(1-p)$。
• 理解切比雪夫不等式的变形：将区间$[a,b]$转化为$|X - E(X)| < \varepsilon$的形式，确定$\varepsilon$的值。

设$X$表示1000次独立重复试验中事件A发生的次数，则$X \sim B(1000, 0.5)$。

1. 计算期望和方差：

   • 期望：$E(X) = np = 1000 \times 0.5 = 500$
   • 方差：$D(X) = np(1-p) = 1000 \times 0.5 \times 0.5 = 250$

2. 应用切比雪夫不等式：

   • 题目要求$X$落在$[400, 600]$之间，即$|X - 500| < 100$，对应$\varepsilon = 100$。
   • 切比雪夫不等式公式为：
     $P(|X - E(X)| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$
   • 代入数据：
     $P(400 \leq X \leq 600) = P(|X - 500| < 100) \geq 1 - \frac{250}{100^2} = 1 - \frac{250}{10000} = 0.975$