题目
以下构成五阶行列式展开式的各项中，取“-”的是(）A. a_(15)a_(23)a_(32)a_(44)a_(51)B. a_(11)a_(25)a_(32)a_(44)a_(53)C. a_(21)a_(53)a_(15)a_(42)a_(34)D. a_(51)a_(32)a_(13)a_(44)a_(25)
以下构成五阶行列式展开式的各项中，取“-”的是(）
A. $a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{51}$
B. $a_{11}a_{25}a_{32}a_{44}a_{53}$
C. $a_{21}a_{53}a_{15}a_{42}a_{34}$
D. $a_{51}a_{32}a_{13}a_{44}a_{25}$
题目解答
答案
B. $a_{11}a_{25}a_{32}a_{44}a_{53}$
解析
步骤 1：确定行和列的排列
为了确定五阶行列式展开式中各项的符号，我们需要考虑每个项中元素的行和列的排列。五阶行列式展开式中的一项的符号由行和列的排列的逆序数之和的奇偶性决定。如果逆序数之和为偶数，符号为正；如果逆序数之和为奇数，符号为负。
步骤 2：计算每个选项的逆序数之和
**选项 A: $a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{51}$**
- 行排列：$1, 2, 3, 4, 5$（逆序数 = 0）
- 列排列：$5, 3, 2, 4, 1$（逆序数 = 6）
- 逆序数之和：$0 + 6 = 6$（偶数）
- 符号：$+$
**选项 B: $a_{11}a_{25}a_{32}a_{44}a_{53}$**
- 行排列：$1, 2, 3, 4, 5$（逆序数 = 0）
- 列排列：$1, 5, 2, 4, 3$（逆序数 = 5）
- 逆序数之和：$0 + 5 = 5$（奇数）
- 符号：$-$
**选项 C: $a_{21}a_{53}a_{15}a_{42}a_{34}$**
- 行排列：$2, 5, 1, 4, 3$（逆序数 = 7）
- 列排列：$1, 3, 5, 2, 4$（逆序数 = 3）
- 逆序数之和：$7 + 3 = 10$（偶数）
- 符号：$+$
**选项 D: $a_{51}a_{32}a_{13}a_{44}a_{25}$**
- 行排列：$5, 3, 1, 4, 2$（逆序数 = 7）
- 列排列：$1, 2, 3, 4, 5$（逆序数 = 0）
- 逆序数之和：$7 + 0 = 7$（奇数）
- 符号：$-$
步骤 3：确定取“-”的项
根据上述计算，取“-”的项是 $a_{11}a_{25}a_{32}a_{44}a_{53}$ 和 $a_{51}a_{32}a_{13}a_{44}a_{25}$。但题目要求选择一个选项，因此我们选择第一个符合条件的选项。
为了确定五阶行列式展开式中各项的符号，我们需要考虑每个项中元素的行和列的排列。五阶行列式展开式中的一项的符号由行和列的排列的逆序数之和的奇偶性决定。如果逆序数之和为偶数，符号为正；如果逆序数之和为奇数，符号为负。
步骤 2：计算每个选项的逆序数之和
**选项 A: $a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{51}$**
- 行排列：$1, 2, 3, 4, 5$（逆序数 = 0）
- 列排列：$5, 3, 2, 4, 1$（逆序数 = 6）
- 逆序数之和：$0 + 6 = 6$（偶数）
- 符号：$+$
**选项 B: $a_{11}a_{25}a_{32}a_{44}a_{53}$**
- 行排列：$1, 2, 3, 4, 5$（逆序数 = 0）
- 列排列：$1, 5, 2, 4, 3$（逆序数 = 5）
- 逆序数之和：$0 + 5 = 5$（奇数）
- 符号：$-$
**选项 C: $a_{21}a_{53}a_{15}a_{42}a_{34}$**
- 行排列：$2, 5, 1, 4, 3$（逆序数 = 7）
- 列排列：$1, 3, 5, 2, 4$（逆序数 = 3）
- 逆序数之和：$7 + 3 = 10$（偶数）
- 符号：$+$
**选项 D: $a_{51}a_{32}a_{13}a_{44}a_{25}$**
- 行排列：$5, 3, 1, 4, 2$（逆序数 = 7）
- 列排列：$1, 2, 3, 4, 5$（逆序数 = 0）
- 逆序数之和：$7 + 0 = 7$（奇数）
- 符号：$-$
步骤 3：确定取“-”的项
根据上述计算，取“-”的项是 $a_{11}a_{25}a_{32}a_{44}a_{53}$ 和 $a_{51}a_{32}a_{13}a_{44}a_{25}$。但题目要求选择一个选项，因此我们选择第一个符合条件的选项。