题目

若 3 阶方阵 A 与 B 相似，且 A 的特征值为 2 、 3 、 5 ，则 |B−E|=() A. 30 B. 8 C. 11 D. 7

若 3 阶方阵 A 与 B 相似，且 A 的特征值为 2 、 3 、 5 ，则 |B−E|=()

A. 30

B. 8

C. 11

D. 7

题目解答

答案

由 3 阶方阵 A 与 B 相似，知 B 的全部特征值为 2 、 3 、 5

∴B−E 的全部特征值为 2−1=1 ， 3−1=2 ， 5−1=4

∴|B−E|=1⋅2⋅4=8

故选： B

解析

步骤 1：理解相似矩阵的性质
相似矩阵具有相同的特征值。因此，如果矩阵 A 与矩阵 B 相似，那么矩阵 A 和矩阵 B 的特征值相同。

步骤 2：确定矩阵 B 的特征值
由于矩阵 A 的特征值为 2、3、5，且矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以矩阵 B 的特征值也是 2、3、5。

步骤 3：计算矩阵 B-E 的特征值
矩阵 B-E 的特征值等于矩阵 B 的特征值减去 1。因此，矩阵 B-E 的特征值为 2-1=1，3-1=2，5-1=4。

步骤 4：计算矩阵 B-E 的行列式
矩阵 B-E 的行列式等于其特征值的乘积。因此，|B-E|=1×2×4=8。