题目
10.试用施密特正交化方法将下列向量组正交化：(1)alpha_(1)=(1,1,1)^T,alpha_(2)=(1,2,3)^T,alpha_(3)=(1,4,9)^T;
10.试用施密特正交化方法将下列向量组正交化：
$(1)\alpha_{1}=(1,1,1)^{T},\alpha_{2}=(1,2,3)^{T},\alpha_{3}=(1,4,9)^{T};$
题目解答
答案
对向量组 $\alpha_1 = (1, 1, 1)^T$, $\alpha_2 = (1, 2, 3)^T$, $\alpha_3 = (1, 4, 9)^T$ 进行施密特正交化：
1. **计算 $\beta_1$**：
$\beta_1 = \alpha_1 = (1, 1, 1)^T$。
2. **计算 $\beta_2$**：
$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\alpha_2^T \beta_1}{\beta_1^T \beta_1} \beta_1 = (1, 2, 3)^T - 2(1, 1, 1)^T = (-1, 0, 1)^T$。
3. **计算 $\beta_3$**：
$\beta_3 = \alpha_3 - \frac{\alpha_3^T \beta_1}{\beta_1^T \beta_1} \beta_1 - \frac{\alpha_3^T \beta_2}{\beta_2^T \beta_2} \beta_2 = (1, 4, 9)^T - \frac{14}{3}(1, 1, 1)^T - 4(-1, 0, 1)^T = \frac{1}{3}(1, -2, 1)^T$。
**答案**：
$$
\boxed{
\begin{array}{c}
\beta_1 = (1, 1, 1)^T, \\
\beta_2 = (-1, 0, 1)^T, \\
\beta_3 = \frac{1}{3}(1, -2, 1)^T.
\end{array}
}
$$
解析
步骤 1：计算 $\beta_1$
根据施密特正交化方法，首先将 $\alpha_1$ 作为 $\beta_1$，即 $\beta_1 = \alpha_1 = (1, 1, 1)^T$。
步骤 2：计算 $\beta_2$
计算 $\beta_2$ 时，需要从 $\alpha_2$ 中减去 $\alpha_2$ 在 $\beta_1$ 上的投影，即 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\alpha_2^T \beta_1}{\beta_1^T \beta_1} \beta_1$。
计算 $\alpha_2^T \beta_1$ 和 $\beta_1^T \beta_1$：
$\alpha_2^T \beta_1 = (1, 2, 3) \cdot (1, 1, 1) = 1 + 2 + 3 = 6$，
$\beta_1^T \beta_1 = (1, 1, 1) \cdot (1, 1, 1) = 1 + 1 + 1 = 3$。
因此，$\beta_2 = (1, 2, 3)^T - \frac{6}{3}(1, 1, 1)^T = (1, 2, 3)^T - 2(1, 1, 1)^T = (-1, 0, 1)^T$。
步骤 3：计算 $\beta_3$
计算 $\beta_3$ 时，需要从 $\alpha_3$ 中减去 $\alpha_3$ 在 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 上的投影，即 $\beta_3 = \alpha_3 - \frac{\alpha_3^T \beta_1}{\beta_1^T \beta_1} \beta_1 - \frac{\alpha_3^T \beta_2}{\beta_2^T \beta_2} \beta_2$。
计算 $\alpha_3^T \beta_1$，$\alpha_3^T \beta_2$，$\beta_1^T \beta_1$ 和 $\beta_2^T \beta_2$：
$\alpha_3^T \beta_1 = (1, 4, 9) \cdot (1, 1, 1) = 1 + 4 + 9 = 14$，
$\alpha_3^T \beta_2 = (1, 4, 9) \cdot (-1, 0, 1) = -1 + 0 + 9 = 8$，
$\beta_1^T \beta_1 = 3$，
$\beta_2^T \beta_2 = (-1, 0, 1) \cdot (-1, 0, 1) = 1 + 0 + 1 = 2$。
因此，$\beta_3 = (1, 4, 9)^T - \frac{14}{3}(1, 1, 1)^T - \frac{8}{2}(-1, 0, 1)^T = (1, 4, 9)^T - \frac{14}{3}(1, 1, 1)^T - 4(-1, 0, 1)^T = \frac{1}{3}(1, -2, 1)^T$。
根据施密特正交化方法，首先将 $\alpha_1$ 作为 $\beta_1$，即 $\beta_1 = \alpha_1 = (1, 1, 1)^T$。
步骤 2：计算 $\beta_2$
计算 $\beta_2$ 时，需要从 $\alpha_2$ 中减去 $\alpha_2$ 在 $\beta_1$ 上的投影，即 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\alpha_2^T \beta_1}{\beta_1^T \beta_1} \beta_1$。
计算 $\alpha_2^T \beta_1$ 和 $\beta_1^T \beta_1$：
$\alpha_2^T \beta_1 = (1, 2, 3) \cdot (1, 1, 1) = 1 + 2 + 3 = 6$，
$\beta_1^T \beta_1 = (1, 1, 1) \cdot (1, 1, 1) = 1 + 1 + 1 = 3$。
因此，$\beta_2 = (1, 2, 3)^T - \frac{6}{3}(1, 1, 1)^T = (1, 2, 3)^T - 2(1, 1, 1)^T = (-1, 0, 1)^T$。
步骤 3：计算 $\beta_3$
计算 $\beta_3$ 时，需要从 $\alpha_3$ 中减去 $\alpha_3$ 在 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 上的投影，即 $\beta_3 = \alpha_3 - \frac{\alpha_3^T \beta_1}{\beta_1^T \beta_1} \beta_1 - \frac{\alpha_3^T \beta_2}{\beta_2^T \beta_2} \beta_2$。
计算 $\alpha_3^T \beta_1$，$\alpha_3^T \beta_2$，$\beta_1^T \beta_1$ 和 $\beta_2^T \beta_2$：
$\alpha_3^T \beta_1 = (1, 4, 9) \cdot (1, 1, 1) = 1 + 4 + 9 = 14$，
$\alpha_3^T \beta_2 = (1, 4, 9) \cdot (-1, 0, 1) = -1 + 0 + 9 = 8$，
$\beta_1^T \beta_1 = 3$，
$\beta_2^T \beta_2 = (-1, 0, 1) \cdot (-1, 0, 1) = 1 + 0 + 1 = 2$。
因此，$\beta_3 = (1, 4, 9)^T - \frac{14}{3}(1, 1, 1)^T - \frac{8}{2}(-1, 0, 1)^T = (1, 4, 9)^T - \frac{14}{3}(1, 1, 1)^T - 4(-1, 0, 1)^T = \frac{1}{3}(1, -2, 1)^T$。