1.设 _(ntimes n)=[ (r)_(1),... ,(r)_(n-1),alpha ] , _(ntimes n)=[ (r)_(1),... ,(r)_(n-1),beta ] , |A|=|B|=1, 则 |A+B|= __-|||-(A)2 (B)2^n (C) ^n+1 (D) ^n-1

考查要点：本题主要考查行列式的性质，特别是行列式的多线性性质和展开方法。关键在于理解矩阵相加后行列式的分解方式。

解题核心思路：

1. 矩阵结构分析：矩阵$A$和$B$的前$n-1$列完全相同，仅最后一列不同（分别为$\alpha$和$\beta$）。
2. 行列式的多线性性质：行列式对每一列都是线性的，且若某列乘以常数$k$，行列式整体乘以$k$。
3. 分解行列式：将$A+B$的行列式拆分为两部分，分别对应$A$和$B$的行列式。

破题关键点：

• 提取公因子：前$n-1$列均为原列的2倍，可提取公因子$2^{n-1}$。
• 行列式展开：最后一列$\alpha+\beta$可分解为$\alpha$和$\beta$的行列式之和。

步骤1：分析矩阵$A+B$的结构

• 前$n-1$列：$A$和$B$的前$n-1$列相同，相加后变为$2r_1, 2r_2, \dots, 2r_{n-1}$。
• 最后一列：$\alpha + \beta$。

步骤2：应用行列式的多线性性质

• 提取公因子：前$n-1$列均乘以2，行列式整体乘以$2^{n-1}$。
• 分解最后一列：$\alpha + \beta$可拆分为$\alpha$和$\beta$的和，对应行列式分解为两部分：
  $|A+B| = 2^{n-1} \cdot \left( \begin{vmatrix} r_1 & \cdots & r_{n-1} & \alpha \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} r_1 & \cdots & r_{n-1} & \beta \\ \end{vmatrix} \right)$

步骤3：代入已知条件

• 已知$|A|=1$和$|B|=1$，因此：
  $|A+B| = 2^{n-1} \cdot (1 + 1) = 2^{n}$