题目
154 设 lim _(xarrow {x)_(0)^+}f'(x)=lim _(xarrow {x)_(0)^-}(x)=a, 则-|||-(A)f(x)在 =(x)_(0) 处必可导且 '((x)_(0))=a.-|||-(B)f(x)在 =(x)_(0) 处必连续,但未必可导.-|||-(C)f(x)在 =(x)_(0) 处必有极限但未必连续.-|||-(D)以上结论都不对.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解题意
题目给出的条件是 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}^{+}}f'(x)=\lim _{x\rightarrow {x}_{0}^{-}}f'(x)=a$，即函数 $f(x)$ 在 $x={x}_{0}$ 处的左右导数都存在且相等，均为 $a$。
步骤 2：分析导数与连续性
根据导数的定义，如果 $f(x)$ 在 $x={x}_{0}$ 处可导，那么 $f(x)$ 在 $x={x}_{0}$ 处必连续。但是，题目中给出的条件只是关于导数的极限，而不是关于函数本身的极限或连续性。
步骤 3：考虑反例
考虑函数 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} x+2,\quad x\gt 0\\ x,\quad x\leqslant 0\end{matrix} \right.$。显然，$x\neq 0$ 时，$f'(x)=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f'(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f'(x)=1$，但 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=2\neq \lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=0$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$ 不存在，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，不可导。
题目给出的条件是 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}^{+}}f'(x)=\lim _{x\rightarrow {x}_{0}^{-}}f'(x)=a$，即函数 $f(x)$ 在 $x={x}_{0}$ 处的左右导数都存在且相等，均为 $a$。
步骤 2：分析导数与连续性
根据导数的定义，如果 $f(x)$ 在 $x={x}_{0}$ 处可导，那么 $f(x)$ 在 $x={x}_{0}$ 处必连续。但是，题目中给出的条件只是关于导数的极限，而不是关于函数本身的极限或连续性。
步骤 3：考虑反例
考虑函数 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} x+2,\quad x\gt 0\\ x,\quad x\leqslant 0\end{matrix} \right.$。显然，$x\neq 0$ 时，$f'(x)=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f'(x)=\lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f'(x)=1$，但 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=2\neq \lim _{x\rightarrow {0}^{-}}f(x)=0$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$ 不存在，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，不可导。