题目
9.设(X,Y)服从区域 :(x)^2+(y)^2leqslant 1 上的均匀分布,则X与Y ()-|||-(A)独立同分布 (B)独立不同分布-|||-(C)同分布不独立 (D)不独立也不同分布
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定联合概率密度函数
由于(X,Y)服从区域 $D:{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$ 上的均匀分布，因此联合概率密度函数为：
$$
f(x,y)=\begin{cases}
\dfrac{1}{\pi}, & \text{若 } {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：计算边缘概率密度函数
边缘概率密度函数 $f(x)$ 和 $f(y)$ 分别为：
$$
f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \dfrac{1}{\pi} dy = \dfrac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}
$$
$$
f(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx = \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \dfrac{1}{\pi} dx = \dfrac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi}
$$
步骤 3：判断独立性和同分布性
由于 $f(x,y) \neq f(x) \cdot f(y)$，因此X与Y不独立。但是，由于 $f(x) = f(y)$，因此X与Y同分布。
由于(X,Y)服从区域 $D:{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$ 上的均匀分布，因此联合概率密度函数为：
$$
f(x,y)=\begin{cases}
\dfrac{1}{\pi}, & \text{若 } {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：计算边缘概率密度函数
边缘概率密度函数 $f(x)$ 和 $f(y)$ 分别为：
$$
f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \dfrac{1}{\pi} dy = \dfrac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}
$$
$$
f(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx = \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \dfrac{1}{\pi} dx = \dfrac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi}
$$
步骤 3：判断独立性和同分布性
由于 $f(x,y) \neq f(x) \cdot f(y)$，因此X与Y不独立。但是，由于 $f(x) = f(y)$，因此X与Y同分布。