题目
若向量组(alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3)线性无关，则向量组(alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3)， (alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3)， (alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3)线性_________；向量组(alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3)，(alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3)，(alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3)线性_________。
若向量组
线性无关，则向量组
， 
， 
线性_________；向量组
，
，
线性_________。
题目解答
答案
本题可以根据定义判断，比如判断向量组是否线性相关，
由等式
- 若
不全为0则说明这组向量线性相关； - 若全为0则说明这组向量线性无关；
题中
，说明当
全为1时满足，所以线性相关；
令
可得：
根据定义得没有确定的一组
使上式成立，即线性无关；
综上所述，第一个空为相关，第二空为无关。
解析
步骤 1：判断向量组${\beta }_{1}$，${\beta }_{2}$，${\beta }_{3}$是否线性相关
根据向量组线性相关的定义，若存在不全为零的数${k}_{1}$，${k}_{2}$，${k}_{3}$，使得${k}_{1}{\beta }_{1}+{k}_{2}{\beta }_{2}+{k}_{3}{\beta }_{3}=0$，则向量组${\beta }_{1}$，${\beta }_{2}$，${\beta }_{3}$线性相关。
步骤 2：计算${\beta }_{1}+{\beta }_{2}+{\beta }_{3}$
将${\beta }_{1}$，${\beta }_{2}$，${\beta }_{3}$的表达式代入，得：
${\beta }_{1}+{\beta }_{2}+{\beta }_{3}=\left(-2{\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}\right)+\left({\alpha }_{1}-2{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}\right)+\left({\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}-2{\alpha }_{3}\right)=0$
步骤 3：判断向量组${m}_{1}$，${\eta }_{2}$，${m}_{3}$是否线性相关
根据向量组线性相关的定义，若存在不全为零的数${k}_{1}$，${k}_{2}$，${k}_{3}$，使得${k}_{1}{m}_{1}+{k}_{2}{\eta }_{2}+{k}_{3}{m}_{3}=0$，则向量组${m}_{1}$，${\eta }_{2}$，${m}_{3}$线性相关。
步骤 4：计算${k}_{1}{m}_{1}+{k}_{2}{\eta }_{2}+{k}_{3}{m}_{3}$
将${m}_{1}$，${\eta }_{2}$，${m}_{3}$的表达式代入，得：
${k}_{1}{m}_{1}+{k}_{2}{\eta }_{2}+{k}_{3}{m}_{3}={k}_{1}\left({\alpha }_{1}+2{\alpha }_{2}+3{\alpha }_{3}\right)+{k}_{2}\left(2{\alpha }_{1}+2{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}\right)+{k}_{3}\left(3{\alpha }_{1}+4{\alpha }_{2}+3{\alpha }_{3}\right)$
步骤 5：判断${k}_{1}$，${k}_{2}$，${k}_{3}$是否全为零
根据向量组线性无关的定义，若${k}_{1}{m}_{1}+{k}_{2}{\eta }_{2}+{k}_{3}{m}_{3}=0$，则${k}_{1}$，${k}_{2}$，${k}_{3}$全为零，即向量组${m}_{1}$，${\eta }_{2}$，${m}_{3}$线性无关。
根据向量组线性相关的定义，若存在不全为零的数${k}_{1}$，${k}_{2}$，${k}_{3}$，使得${k}_{1}{\beta }_{1}+{k}_{2}{\beta }_{2}+{k}_{3}{\beta }_{3}=0$，则向量组${\beta }_{1}$，${\beta }_{2}$，${\beta }_{3}$线性相关。
步骤 2：计算${\beta }_{1}+{\beta }_{2}+{\beta }_{3}$
将${\beta }_{1}$，${\beta }_{2}$，${\beta }_{3}$的表达式代入，得：
${\beta }_{1}+{\beta }_{2}+{\beta }_{3}=\left(-2{\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}\right)+\left({\alpha }_{1}-2{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}\right)+\left({\alpha }_{1}+{\alpha }_{2}-2{\alpha }_{3}\right)=0$
步骤 3：判断向量组${m}_{1}$，${\eta }_{2}$，${m}_{3}$是否线性相关
根据向量组线性相关的定义，若存在不全为零的数${k}_{1}$，${k}_{2}$，${k}_{3}$，使得${k}_{1}{m}_{1}+{k}_{2}{\eta }_{2}+{k}_{3}{m}_{3}=0$，则向量组${m}_{1}$，${\eta }_{2}$，${m}_{3}$线性相关。
步骤 4：计算${k}_{1}{m}_{1}+{k}_{2}{\eta }_{2}+{k}_{3}{m}_{3}$
将${m}_{1}$，${\eta }_{2}$，${m}_{3}$的表达式代入，得：
${k}_{1}{m}_{1}+{k}_{2}{\eta }_{2}+{k}_{3}{m}_{3}={k}_{1}\left({\alpha }_{1}+2{\alpha }_{2}+3{\alpha }_{3}\right)+{k}_{2}\left(2{\alpha }_{1}+2{\alpha }_{2}+{\alpha }_{3}\right)+{k}_{3}\left(3{\alpha }_{1}+4{\alpha }_{2}+3{\alpha }_{3}\right)$
步骤 5：判断${k}_{1}$，${k}_{2}$，${k}_{3}$是否全为零
根据向量组线性无关的定义，若${k}_{1}{m}_{1}+{k}_{2}{\eta }_{2}+{k}_{3}{m}_{3}=0$，则${k}_{1}$，${k}_{2}$，${k}_{3}$全为零，即向量组${m}_{1}$，${\eta }_{2}$，${m}_{3}$线性无关。