填空题函数f(x)=int_(-1)^x(1-|t|)dt(xgeq-1)与x轴所围成的平面图形的面积为____.

考查要点：本题主要考查定积分的计算、分段函数的处理以及平面图形面积的求解方法。关键在于正确处理绝对值函数的积分，并确定函数与x轴的交点，进而分段计算面积。

解题思路：

1. 分段处理绝对值积分：将积分区间分为$[-1,0)$和$[0,x]$两部分，分别计算被积函数$1-|t|$的表达式。
2. 求函数表达式：根据积分结果，得到$f(x)$在不同区间的显式表达式。
3. 确定交点：解方程$f(x)=0$，找到函数与x轴的交点，确定积分区间。
4. 分段计算面积：在不同区间内计算函数与x轴围成的面积，注意积分的绝对值处理。

分段积分求$f(x)$表达式

当$-1 \leq x < 0$时

此时$t \in [-1, x]$，均为负数，故$|t| = -t$，被积函数为$1 - (-t) = 1 + t$。积分得：
$f(x) = \int_{-1}^{x} (1 + t) \, dt = \left[ t + \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^{x} = \frac{(x+1)^2}{2}.$

当$x \geq 0$时

积分区间分为$[-1,0)$和$[0,x]$：

1. 第一部分：$\int_{-1}^{0} (1 + t) \, dt = \frac{1}{2}$；
2. 第二部分：$\int_{0}^{x} (1 - t) \, dt = x - \frac{x^2}{2}$；
3. 总和：$f(x) = \frac{1}{2} + x - \frac{x^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{2}$。

确定函数与x轴的交点

1. 当$x = -1$时，$f(-1) = 0$；
2. 当$x \geq 0$时，解方程$-\frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{2} = 0$，得$x = 1 + \sqrt{2}$。

分段计算面积

$-1 \leq x < 0$部分

$\text{面积} = \int_{-1}^{0} \frac{(x+1)^2}{2} \, dx = \frac{1}{6}.$

$0 \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$部分

$\text{面积} = \int_{0}^{1+\sqrt{2}} \left( -\frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{2} \right) \, dx = \frac{5 + 4\sqrt{2}}{6}.$

总面积

$\text{总面积} = \frac{1}{6} + \frac{5 + 4\sqrt{2}}{6} = 1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}.$