5、设函数z=z(x,y)由方程(x)/(z)=ln(z)/(y)确定，求dz。

考查要点：本题主要考查隐函数的偏导数求解以及全微分的计算。需要掌握对隐函数方程两边同时求偏导的方法，并正确应用乘积法则和链式法则。

解题核心思路：

1. 将原方程变形，便于后续求导；
2. 分别对$x$和$y$求偏导数，解出$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$；
3. 组合偏导数，得到全微分$dz$。

破题关键点：

• 正确处理隐函数方程的求导，注意变量间的依赖关系；
• 代数变形的准确性，尤其是处理对数项和分式项时。

原方程：$\frac{x}{z} = \ln \frac{z}{y}$，变形为 $x = z \ln \frac{z}{y}$。

对$x$求偏导

1. 对$x$求导：
   左边导数为$1$，右边应用乘积法则：
   $1 = \frac{\partial z}{\partial x} \ln \frac{z}{y} + z \cdot \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x}.$
2. 整理方程：
   提取公因子$\frac{\partial z}{\partial x}$，得：
   $\frac{\partial z}{\partial x} \left( \ln \frac{z}{y} + 1 \right) = 1.$
3. 解得：
   $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + \ln \frac{z}{y}}.$

对$y$求偏导

1. 对$y$求导：
   左边导数为$0$，右边应用乘积法则和链式法则：
   $0 = \frac{\partial z}{\partial y} \ln \frac{z}{y} + z \left( \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{1}{y} \right).$
2. 整理方程：
   提取公因子$\frac{\partial z}{\partial y}$，得：
   $\frac{\partial z}{\partial y} \left( \ln \frac{z}{y} + 1 \right) = \frac{z}{y}.$
3. 解得：
   $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z}{y \left( 1 + \ln \frac{z}{y} \right)}.$

全微分

将偏导数代入全微分公式：
$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy.$