题目

10.lim_(xto+infty)x(2^(1)/(x)-3^(1)/(x))=____.

10.$\lim_{x\to+\infty}x\left(2^{\frac{1}{x}}-3^{\frac{1}{x}}\right)$=____.

题目解答

答案

令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to +\infty$ 时，$t \to 0^+$。原极限变为： \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{2^t - 3^t}{t} \] 利用指数函数性质，有 $2^t = e^{t\ln 2}$ 和 $3^t = e^{t\ln 3}$，故： \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{e^{t\ln 2} - e^{t\ln 3}}{t} \] 提取公因式 $e^{t\ln 3}$： \[ \lim_{t \to 0^+} e^{t\ln 3} \cdot \frac{e^{t(\ln 2 - \ln 3)} - 1}{t} \] 由等价无穷小 $e^u - 1 \sim u$（当 $u \to 0$）： \[ \lim_{t \to 0^+} e^{t\ln 3} \cdot (\ln 2 - \ln 3) = \ln \frac{2}{3} \] 或者使用洛必达法则： \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{2^t \ln 2 - 3^t \ln 3}{1} = \ln 2 - \ln 3 = \ln \frac{2}{3} \] **答案：** $\boxed{\ln \frac{2}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理无穷小量与无穷大量乘积的技巧，以及灵活运用变量替换、泰勒展开或等价无穷小替换的能力。

解题核心思路：
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此$2^{\frac{1}{x}}$和$3^{\frac{1}{x}}$均可展开为泰勒多项式。通过变量替换$t = \frac{1}{x}$，将原极限转化为关于$t \to 0^+$的形式，再利用等价无穷小替换或洛必达法则求解。

破题关键点：

  1. 变量替换简化极限形式；
  2. 指数函数泰勒展开或等价无穷小替换处理分子中的指数差；
  3. 洛必达法则直接求解$\frac{0}{0}$型极限。

步骤1：变量替换
令$t = \frac{1}{x}$，则当$x \to +\infty$时，$t \to 0^+$。原极限变为：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{2^t - 3^t}{t}$

步骤2：指数函数展开
将$2^t$和$3^t$表示为指数函数：
$2^t = e^{t \ln 2}, \quad 3^t = e^{t \ln 3}$
分子可改写为：
$e^{t \ln 2} - e^{t \ln 3} = e^{t \ln 3} \left( e^{t (\ln 2 - \ln 3)} - 1 \right)$

步骤3：等价无穷小替换
当$t \to 0$时，$e^{t (\ln 2 - \ln 3)} - 1 \sim t (\ln 2 - \ln 3)$，因此：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{e^{t \ln 3} \cdot t (\ln 2 - \ln 3)}{t} = \ln \frac{2}{3}$

步骤4（备选）：洛必达法则
对$\frac{2^t - 3^t}{t}$直接求导：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{2^t \ln 2 - 3^t \ln 3}{1} = \ln 2 - \ln 3 = \ln \frac{2}{3}$