设函数 f(x)=} 3x^2, & x leq 1 4x-1, & x > 1 则 f(x) 在点 x=1 处 （ ）。(A) 左、右导数都不存在(B) 左导数存在，但右导数不存在(C) 左导数不存在，但右导数存在(D) 左、右导数都存在
设函数 $f(x)=\begin{cases} 3x^2, & x \leq 1 \\ 4x-1, & x > 1 \end{cases}$ 则 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处 （ ）。 (A) 左、右导数都不存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 (D) 左、右导数都存在
题目解答
答案
我们来分析函数 $ f(x) $ 在点 $ x = 1 $ 处的左导数和右导数是否存在。
题目回顾
函数定义如下：
$f(x) = \begin{cases}3x^2, & x \leq 1 \\4x - 1, & x > 1\end{cases}$
我们需要判断 $ f(x) $ 在点 $ x = 1 $ 处的左导数和右导数是否存在，并选择正确选项。
第一步：计算函数在 $ x = 1 $ 处的值
根据定义，当 $ x \leq 1 $ 时，$ f(x) = 3x^2 $，所以：
$f(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$
第二步：计算左导数（从左边趋近于 1）
左导数的定义是：
$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$
因为 $ h \to 0^- $，所以 $ 1 + h < 1 $，使用 $ f(x) = 3x^2 $：
$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{3(1 + h)^2 - 3}{h}$
展开平方：
$= \lim_{h \to 0^-} \frac{3(1 + 2h + h^2) - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{3 + 6h + 3h^2 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{6h + 3h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (6 + 3h) = 6$
所以 左导数存在，且为 6。
第三步：计算右导数（从右边趋近于 1）
右导数的定义是：
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$
因为 $ h \to 0^+ $，所以 $ 1 + h > 1 $，使用 $ f(x) = 4x - 1 $：
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{4(1 + h) - 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4 + 4h - 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4h}{h} = 4$
所以 右导数也存在，且为 4。
结论
函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的左导数和右导数都存在，但它们不相等（左导数为 6，右导数为 4），因此函数在 $ x = 1 $ 处 不可导，但左、右导数都存在。
正确答案：
$\boxed{(D)\ \text{左、右导数都存在}}$
解析
考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的左导数和右导数是否存在，需要分别计算左右导数的极限是否存在。
解题核心思路：
- 明确分段点两侧的函数表达式，确定左右导数的计算方式。
- 应用导数定义，分别计算左导数（从左侧趋近于$x=1$）和右导数（从右侧趋近于$x=1$）。
- 判断左右导数的极限是否存在，若存在则进一步比较是否相等。
破题关键点：
- 左导数：当$h \to 0^-$时，$x=1+h$属于$x \leq 1$的区间，使用$f(x)=3x^2$计算。
- 右导数：当$h \to 0^+$时，$x=1+h$属于$x > 1$的区间，使用$f(x)=4x-1$计算。
- 极限计算：通过代数化简判断左右导数的极限是否存在。
计算左导数
左导数定义为：
$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$
当$h \to 0^-$时，$1+h < 1$，故$f(1+h) = 3(1+h)^2$，且$f(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$。代入得：
$\begin{aligned}f'_-(1) &= \lim_{h \to 0^-} \frac{3(1+h)^2 - 3}{h} \\&= \lim_{h \to 0^-} \frac{3(1 + 2h + h^2) - 3}{h} \\&= \lim_{h \to 0^-} \frac{6h + 3h^2}{h} \\&= \lim_{h \to 0^-} (6 + 3h) = 6\end{aligned}$
左导数存在，且为6。
计算右导数
右导数定义为：
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$
当$h \to 0^+$时，$1+h > 1$，故$f(1+h) = 4(1+h) - 1$，且$f(1) = 3$。代入得：
$\begin{aligned}f'_+(1) &= \lim_{h \to 0^+} \frac{4(1+h) - 1 - 3}{h} \\&= \lim_{h \to 0^+} \frac{4h}{h} \\&= \lim_{h \to 0^+} 4 = 4\end{aligned}$
右导数存在，且为4。