题目
计算下列极限lim _(xarrow 1)dfrac (sqrt [3]{x)-1}(sqrt {x)-1}=______
计算下列极限
______
题目解答
答案
极限
所以本题答案为
解析
步骤 1：代数变形
首先，我们观察到分子和分母都包含根号，且当$x$趋近于1时，分子和分母都趋近于0，这表明我们可能需要使用代数变形来简化表达式。我们可以通过分子和分母同时乘以各自的共轭表达式来消除根号。对于分子$\sqrt[3]{x}-1$，其共轭表达式为$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1$；对于分母$\sqrt{x}-1$，其共轭表达式为$\sqrt{x}+1$。但是，直接使用这些共轭表达式可能过于复杂，因此我们考虑使用另一种方法，即利用$x-1$的等价无穷小替换来简化问题。
步骤 2：等价无穷小替换
当$x$趋近于1时，$\sqrt[3]{x}-1$和$\sqrt{x}-1$都可以用$x-1$的等价无穷小来替换。具体来说，$\sqrt[3]{x}-1$等价于$\frac{x-1}{3}$，$\sqrt{x}-1$等价于$\frac{x-1}{2}$。这是因为当$x$趋近于1时，$\sqrt[3]{x}$和$\sqrt{x}$都可以用泰勒展开式近似为$1+\frac{x-1}{3}$和$1+\frac{x-1}{2}$，从而得到上述等价无穷小。
步骤 3：计算极限
将上述等价无穷小代入原极限表达式中，得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sqrt [3]{x}-1}{\sqrt {x}-1}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\frac{x-1}{3}}{\frac{x-1}{2}}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2}{3}=\dfrac {2}{3}$。
首先，我们观察到分子和分母都包含根号，且当$x$趋近于1时，分子和分母都趋近于0，这表明我们可能需要使用代数变形来简化表达式。我们可以通过分子和分母同时乘以各自的共轭表达式来消除根号。对于分子$\sqrt[3]{x}-1$，其共轭表达式为$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1$；对于分母$\sqrt{x}-1$，其共轭表达式为$\sqrt{x}+1$。但是，直接使用这些共轭表达式可能过于复杂，因此我们考虑使用另一种方法，即利用$x-1$的等价无穷小替换来简化问题。
步骤 2：等价无穷小替换
当$x$趋近于1时，$\sqrt[3]{x}-1$和$\sqrt{x}-1$都可以用$x-1$的等价无穷小来替换。具体来说，$\sqrt[3]{x}-1$等价于$\frac{x-1}{3}$，$\sqrt{x}-1$等价于$\frac{x-1}{2}$。这是因为当$x$趋近于1时，$\sqrt[3]{x}$和$\sqrt{x}$都可以用泰勒展开式近似为$1+\frac{x-1}{3}$和$1+\frac{x-1}{2}$，从而得到上述等价无穷小。
步骤 3：计算极限
将上述等价无穷小代入原极限表达式中，得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sqrt [3]{x}-1}{\sqrt {x}-1}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\frac{x-1}{3}}{\frac{x-1}{2}}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2}{3}=\dfrac {2}{3}$。