1.9 质量为m、长为l的均质杆和刚度系数为k的弹簧、黏性阻尼系数为c的阻尼器构-|||-成振动系统,如图E 1.9所示。试以杆的偏角φ为广义坐标建立系统的动力学方程,给出自-|||-由振动的存在条件。若在弹簧原长处立即释手,试求杆的最大振幅和发生时间、最大角速度-|||-和发生时间。是否发生在过平衡位置时?-|||-a-|||-0-|||-k-|||-__-|||-图E1.9

步骤 1：建立动力学方程
首先，我们以杆的偏角φ为广义坐标，建立系统的动力学方程。根据牛顿第二定律，杆的转动惯量为 $I = \frac{1}{3}ml^2$，弹簧的弹性力为 $F = -kx$，其中 $x = a\varphi$。阻尼力为 $F_d = -c\dot{x} = -ca\dot{\varphi}$。因此，系统的动力学方程为：
$$
I\ddot{\varphi} + ca\dot{\varphi} + ka\varphi = 0
$$
步骤 2：自由振动的存在条件
自由振动的存在条件是阻尼系数c小于临界阻尼系数$c_c$，即：
$$
c < c_c = 2\sqrt{Ika} = 2a\sqrt{\frac{mk}{3}}
$$
步骤 3：求解最大振幅和发生时间
在弹簧原长处立即释手，即初始条件为 $\varphi(0) = \varphi_0$，$\dot{\varphi}(0) = 0$。根据初始条件，可以求得最大振幅和发生时间。最大振幅为：
$$
\varphi_m = \frac{mgl}{2ka^2}
$$
最大振幅发生的时间为：
$$
t_m = \frac{1}{\omega_d}\arctan\left(\frac{\sqrt{1-s^2}}{s}\right)
$$
其中，$s = \frac{c}{2\sqrt{Ika}}$，$\omega_d = \omega_n\sqrt{1-s^2}$，$\omega_n = \frac{a}{l}\sqrt{\frac{3k}{m}}$。
步骤 4：求解最大角速度和发生时间
最大角速度为：
$$
\dot{\varphi}_m = \frac{\omega_m}{\omega_d}\varphi_m\sin(\omega_m t_m)
$$
其中，$\omega_m = \omega_n\sqrt{1-s^2}$。最大角速度发生的时间为：
$$
t_{\dot{\varphi}_m} = \frac{1}{\omega_m}\arctan\left(\frac{\sqrt{1-s^2}}{s}\right)
$$
步骤 5：判断是否发生在过平衡位置时
最大振幅和最大角速度发生的时间均不发生在过平衡位置时，因为过平衡位置时，$\varphi = 0$，$\dot{\varphi} = 0$。