题目
设随机变量X服从区间［0，1］上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立.求：（1）X及Y的概率密度；（2）（X，Y）的概率密度；（3）P｛X>Y｝.
设随机变量X服从区间［0，1］上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立.
求：（1）X及Y的概率密度；（2）（X，Y）的概率密度；（3）P｛X>Y｝.
题目解答
答案
解：
（1）X的概率密度
Y的概率密度
（4分）
（2）（X，Y）的概率密度
（8分）
（3）
（12分）
解析
步骤 1：确定X的概率密度
由于X服从区间［0，1］上的均匀分布，其概率密度函数为在区间［0，1］上取值为1，其他区间取值为0。
步骤 2：确定Y的概率密度
由于Y服从参数为1的指数分布，其概率密度函数为在y>0时取值为${e}^{-y}$，其他区间取值为0。
步骤 3：确定（X，Y）的概率密度
由于X与Y相互独立，（X，Y）的概率密度函数为X和Y概率密度函数的乘积。
步骤 4：计算P｛X>Y｝
根据（X，Y）的概率密度函数，计算P｛X>Y｝的值，即计算在X>Y条件下的概率积分。
由于X服从区间［0，1］上的均匀分布，其概率密度函数为在区间［0，1］上取值为1，其他区间取值为0。
步骤 2：确定Y的概率密度
由于Y服从参数为1的指数分布，其概率密度函数为在y>0时取值为${e}^{-y}$，其他区间取值为0。
步骤 3：确定（X，Y）的概率密度
由于X与Y相互独立，（X，Y）的概率密度函数为X和Y概率密度函数的乘积。
步骤 4：计算P｛X>Y｝
根据（X，Y）的概率密度函数，计算P｛X>Y｝的值，即计算在X>Y条件下的概率积分。