题目
下 列命题正确的是 A.若 矩阵 A 与 B 合同,则 A 与 B 等价B.若 矩阵 A 与 B 等价,则 A 与 B 相似C.若 矩阵 A 与 B 合同,则 A 与 B 相似D.若 矩阵 A 与 B 等价,则 A 与 B 合同
下 列命题正确的是
A.若 矩阵 A 与 B 合同,则 A 与 B 等价
B.若 矩阵 A 与 B 等价,则 A 与 B 相似
C.若 矩阵 A 与 B 合同,则 A 与 B 相似
D.若 矩阵 A 与 B 等价,则 A 与 B 合同
题目解答
答案
对于矩阵合同、等价、相似有：
等价（只有秩相同），合同（秩和正负惯性指数相同），相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同）.
故合同一定等价，A正确。
同时可判断出B、C、D错误。
故选A.
解析
步骤 1：理解矩阵合同、等价、相似的定义
矩阵合同：两个矩阵 A 和 B 合同，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 \(P^TAP = B\)。
矩阵等价：两个矩阵 A 和 B 等价，如果存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 \(PAQ = B\)。
矩阵相似：两个矩阵 A 和 B 相似，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 \(P^{-1}AP = B\)。
步骤 2：分析选项
A. 若矩阵 A 与 B 合同，则 A 与 B 等价。
矩阵合同意味着存在一个可逆矩阵 P，使得 \(P^TAP = B\)。由于 P 是可逆的，所以 A 和 B 等价。
B. 若矩阵 A 与 B 等价，则 A 与 B 相似。
矩阵等价仅意味着 A 和 B 有相同的秩，但不一定有相同的特征值，因此不一定相似。
C. 若矩阵 A 与 B 合同，则 A 与 B 相似。
矩阵合同意味着 A 和 B 有相同的秩和正负惯性指数，但不一定有相同的特征值，因此不一定相似。
D. 若矩阵 A 与 B 等价，则 A 与 B 合同。
矩阵等价仅意味着 A 和 B 有相同的秩，但不一定有相同的正负惯性指数，因此不一定合同。
步骤 3：选择正确答案
根据上述分析，只有选项 A 是正确的。
矩阵合同：两个矩阵 A 和 B 合同，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 \(P^TAP = B\)。
矩阵等价：两个矩阵 A 和 B 等价，如果存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 \(PAQ = B\)。
矩阵相似：两个矩阵 A 和 B 相似，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 \(P^{-1}AP = B\)。
步骤 2：分析选项
A. 若矩阵 A 与 B 合同，则 A 与 B 等价。
矩阵合同意味着存在一个可逆矩阵 P，使得 \(P^TAP = B\)。由于 P 是可逆的，所以 A 和 B 等价。
B. 若矩阵 A 与 B 等价，则 A 与 B 相似。
矩阵等价仅意味着 A 和 B 有相同的秩，但不一定有相同的特征值，因此不一定相似。
C. 若矩阵 A 与 B 合同，则 A 与 B 相似。
矩阵合同意味着 A 和 B 有相同的秩和正负惯性指数，但不一定有相同的特征值，因此不一定相似。
D. 若矩阵 A 与 B 等价，则 A 与 B 合同。
矩阵等价仅意味着 A 和 B 有相同的秩，但不一定有相同的正负惯性指数，因此不一定合同。
步骤 3：选择正确答案
根据上述分析，只有选项 A 是正确的。