题目
3.求曲线 =sqrt (x) 的一条切线,使此曲线与切线及直线 =0, x=2 围成的面积最小.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求切线方程
设切点为 $({x}_{0},\sqrt {{x}_{0}})$，则切线斜率为 $y'=\dfrac {1}{2\sqrt {x}}$ 在 $x={x}_{0}$ 处的值，即 $\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}$。因此，切线方程为 $y-\sqrt {{x}_{0}}=\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}(x-{x}_{0})$，化简得 $y=\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}x+\dfrac {1}{2}\sqrt {{x}_{0}}$。
步骤 2：求面积表达式
切线与曲线 $y=\sqrt {x}$ 及直线 $x=0$ 和 $x=2$ 围成的面积 $S$ 可以表示为 $S({x}_{0})=\int_{0}^{2}(\sqrt {x}-\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}x-\dfrac {1}{2}\sqrt {{x}_{0}})dx$。计算积分得 $S({x}_{0})=\dfrac {1}{\sqrt {{x}_{0}}}-\sqrt {{x}_{0}}-\dfrac {4}{3}\sqrt {2}$。
步骤 3：求面积最小值
对 $S({x}_{0})$ 求导，得 $S'({x}_{0})=-\dfrac {1}{2{x}_{0}^{\frac {3}{2}}}-\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}$。令 $S'({x}_{0})=0$，解得 ${x}_{0}=1$。验证 ${x}_{0}=1$ 时，$S({x}_{0})$ 取得最小值。
设切点为 $({x}_{0},\sqrt {{x}_{0}})$，则切线斜率为 $y'=\dfrac {1}{2\sqrt {x}}$ 在 $x={x}_{0}$ 处的值，即 $\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}$。因此，切线方程为 $y-\sqrt {{x}_{0}}=\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}(x-{x}_{0})$，化简得 $y=\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}x+\dfrac {1}{2}\sqrt {{x}_{0}}$。
步骤 2：求面积表达式
切线与曲线 $y=\sqrt {x}$ 及直线 $x=0$ 和 $x=2$ 围成的面积 $S$ 可以表示为 $S({x}_{0})=\int_{0}^{2}(\sqrt {x}-\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}x-\dfrac {1}{2}\sqrt {{x}_{0}})dx$。计算积分得 $S({x}_{0})=\dfrac {1}{\sqrt {{x}_{0}}}-\sqrt {{x}_{0}}-\dfrac {4}{3}\sqrt {2}$。
步骤 3：求面积最小值
对 $S({x}_{0})$ 求导，得 $S'({x}_{0})=-\dfrac {1}{2{x}_{0}^{\frac {3}{2}}}-\dfrac {1}{2\sqrt {{x}_{0}}}$。令 $S'({x}_{0})=0$，解得 ${x}_{0}=1$。验证 ${x}_{0}=1$ 时，$S({x}_{0})$ 取得最小值。