题目
lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^x-(e)^sin x}(x-sin x).
.
题目解答
答案
对于极限
，由等价无穷小可知，当
时，
，则有
，故极限
故答案为：
解析
步骤 1：应用等价无穷小替换
当$x\rightarrow 0$时，$x-\sin x$是$x$的高阶无穷小，即$x-\sin x\sim \frac {1}{6}x^{3}$。同时，$e^{x}-1\sim x$，$e^{\sin x}-1\sim \sin x$。因此，$e^{x}-e^{\sin x}\sim x-\sin x$。
步骤 2：代入等价无穷小
将$x-\sin x\sim \frac {1}{6}x^{3}$代入原极限中，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-{e}^{\sin x}}{x-\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{x-\sin x}$。
步骤 3：计算极限
由于分子和分母都是$x-\sin x$，所以$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{x-\sin x}=1$。
当$x\rightarrow 0$时，$x-\sin x$是$x$的高阶无穷小，即$x-\sin x\sim \frac {1}{6}x^{3}$。同时，$e^{x}-1\sim x$，$e^{\sin x}-1\sim \sin x$。因此，$e^{x}-e^{\sin x}\sim x-\sin x$。
步骤 2：代入等价无穷小
将$x-\sin x\sim \frac {1}{6}x^{3}$代入原极限中，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-{e}^{\sin x}}{x-\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{x-\sin x}$。
步骤 3：计算极限
由于分子和分母都是$x-\sin x$，所以$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{x-\sin x}=1$。