题目
beta=(1,k,5)不能由向量组alpha_1=(1,-3,2),alpha_2=(2,-1,1)线性表示，则k为().A. k neq -8B. k=-2C. k=-8D. k neq -2
$\beta=(1,k,5)$不能由向量组$\alpha_1=(1,-3,2)$,$\alpha_2=(2,-1,1)$线性表示，则$k$为().
A. $k \neq -8$
B. $k=-2$
C. $k=-8$
D. $k \neq -2$
题目解答
答案
A. $k \neq -8$
解析
步骤 1：建立方程组
将向量 $\beta = (1, k, 5)$ 表示为 $a_1 = (1, -3, 2)$ 和 $a_2 = (2, -1, 1)$ 的线性组合，即求解方程组： \[ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ -3x - y = k, \\ 2x + y = 5. \end{cases} \]
步骤 2：解方程组
解方程组 \[ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x + y = 5. \end{cases} \] 得 $x = 3$，$y = -1$。将 $x = 3$ 和 $y = -1$ 代入第二个方程 $-3x - y = k$，得 $k = -8$。
步骤 3：判断条件
当 $k = -8$ 时，方程组有解，$\beta$ 可由 $a_1$ 和 $a_2$ 线性表示。当 $k \neq -8$ 时，方程组无解，$\beta$ 不能由 $a_1$ 和 $a_2$ 线性表示。
将向量 $\beta = (1, k, 5)$ 表示为 $a_1 = (1, -3, 2)$ 和 $a_2 = (2, -1, 1)$ 的线性组合，即求解方程组： \[ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ -3x - y = k, \\ 2x + y = 5. \end{cases} \]
步骤 2：解方程组
解方程组 \[ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x + y = 5. \end{cases} \] 得 $x = 3$，$y = -1$。将 $x = 3$ 和 $y = -1$ 代入第二个方程 $-3x - y = k$，得 $k = -8$。
步骤 3：判断条件
当 $k = -8$ 时，方程组有解，$\beta$ 可由 $a_1$ 和 $a_2$ 线性表示。当 $k \neq -8$ 时，方程组无解，$\beta$ 不能由 $a_1$ 和 $a_2$ 线性表示。