曲线 y^2 = ax (a > 0) 与 y = x^2 所围成的平面图形的面积为 9，则 a = ( ) A 21 B 27 C 24 D 25

为了找到使得曲线 $ y^2 = ax $ 和 $ y = x^2 $ 所围成的平面图形的面积为9的 $ a $ 的值，我们需要遵循以下步骤： 1. **找到两条曲线的交点：** 将 $ y = x^2 $ 代入 $ y^2 = ax $： \[ (x^2)^2 = ax \implies x^4 = ax \implies x(x^3 - a) = 0 \] 这给出了两个解： $ x = 0 $ 和 $ x = a^{1/3} $。对应的 $ y $-值为 $ y = 0 $ 和 $ y = (a^{1/3})^2 = a^{2/3} $。因此，交点为 $ (0, 0) $ 和 $ (a^{1/3}, a^{2/3}) $。 2. **设置积分以找到曲线之间的面积：** 面积 $ A $ 由上曲线 $ y = \sqrt{ax} $ 和下曲线 $ y = x^2 $ 从 $ x = 0 $ 到 $ x = a^{1/3} $ 之间的差的积分给出： \[ A = \int_{0}^{a^{1/3}} \left( \sqrt{ax} - x^2 \right) \, dx \] 我们知道面积为9，所以有： \[ \int_{0}^{a^{1/3}} \left( \sqrt{ax} - x^2 \right) \, dx = 9 \] 3. **计算积分：** 首先，将 $ \sqrt{ax} $ 重写为 $ \sqrt{a} \sqrt{x} = \sqrt{a} x^{1/2} $： \[ \int_{0}^{a^{1/3}} \left( \sqrt{a} x^{1/2} - x^2 \right) \, dx \] 分别积分每一项： \[ \sqrt{a} \int_{0}^{a^{1/3}} x^{1/2} \, dx - \int_{0}^{a^{1/3}} x^2 \, dx \] $ x^{1/2} $ 的积分是 $ \frac{2}{3} x^{3/2} $，而 $ x^2 $ 的积分是 $ \frac{1}{3} x^3 $。从0到 $ a^{1/3} $ 评估这些积分： \[ \sqrt{a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{a^{1/3}} - \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{a^{1/3}} = \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left( a^{1/3} \right)^{3/2} - \frac{1}{3} \left( a^{1/3} \right)^3 \] 简化指数： \[ \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} a^{1/2} - \frac{1}{3} a = \frac{2}{3} a - \frac{1}{3} a = \frac{1}{3} a \] 我们知道这个面积等于9： \[ \frac{1}{3} a = 9 \implies a = 27 \] 因此，$ a $ 的值是 $\boxed{27}$。