题目
函数 f(x,y)=} (x^2y^2)/(x^4+y^4), & (x,y)neq 0, 0, & (x,y)= 0 在点 (0,0) 处().A. 可微B. 可偏导但不可微C. 连续但不可微D. 即不连续又不可导
函数 $f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}, & (x,y)\neq 0, \\ 0, & (x,y)= 0 \end{cases}$ 在点 $(0,0)$ 处().
A. 可微
B. 可偏导但不可微
C. 连续但不可微
D. 即不连续又不可导
题目解答
答案
B. 可偏导但不可微
解析
步骤 1：连续性
沿 $y = x$ 趋近时，$f(x, x) = \frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2}$，与 $f(0,0) = 0$ 不等，故不连续。
步骤 2：可偏导性
$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0)}{\Delta x} = 0$，
$f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,\Delta y)}{\Delta y} = 0$，
偏导数存在。
步骤 3：可微性
$\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{f(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{\Delta x^2 \Delta y^2}{(\Delta x^4 + \Delta y^4)\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}$，
沿 $y = x$ 趋近时极限为 $\infty$，不为 $0$，故不可微。
沿 $y = x$ 趋近时，$f(x, x) = \frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2}$，与 $f(0,0) = 0$ 不等，故不连续。
步骤 2：可偏导性
$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0)}{\Delta x} = 0$，
$f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,\Delta y)}{\Delta y} = 0$，
偏导数存在。
步骤 3：可微性
$\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{f(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{\Delta x^2 \Delta y^2}{(\Delta x^4 + \Delta y^4)\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}$，
沿 $y = x$ 趋近时极限为 $\infty$，不为 $0$，故不可微。