题目
设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下,求指定的转动惯量:-|||-D由抛物线 ^2=dfrac (9)(2)x 与直线 x=2 所围成,求Ix和Iy;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定区域D的边界
抛物线 ${y}^{2}=\dfrac {9}{2}x$ 与直线 x=2 所围成的区域D，可以表示为 $D=\{ (x,y)|-3\sqrt {\dfrac {x}{2}}\leqslant y\leqslant 3\sqrt {\dfrac {x}{2}}$ $0\leqslant x\leqslant 2\} $ 。
步骤 2：计算Ix
Ix是关于y轴的转动惯量，计算公式为 ${I}_{x}=\iint {y}^{2}dxdy$。将区域D代入公式中，得到 ${I}_{x}=\iint {y}^{2}dxdy\xlongequal {x空地UND}2{\int }_{0}^{2}dx{\int }_{0}^{-\dfrac {\sqrt {\dfrac {1}{2}}}{y}^{2}dy$。计算积分，得到 ${I}_{x}=\dfrac {2}{3}{\int }_{0}^{2}\dfrac {27}{2\sqrt {2}}{x}^{\dfrac {3}{2}}dx=\dfrac {72}{5}$。
步骤 3：计算Iy
Iy是关于x轴的转动惯量，计算公式为 ${I}_{y}=\iint {x}^{2}dxdy$。将区域D代入公式中，得到 ${I}_{y}=\iint {x}^{2}dxdy\xlongequal {{x}^{2}+2x-2}{2}^{2}{x}^{2}dx{\int }_{0}^{\sqrt [3]{\dfrac {\sqrt {2}}{6}}dy$。计算积分，得到 ${I}_{y}=2{\int }_{0}^{2}\dfrac {3}{\sqrt {2}}{x}^{\dfrac {5}{2}}dx=\dfrac {96}{7}$。
抛物线 ${y}^{2}=\dfrac {9}{2}x$ 与直线 x=2 所围成的区域D，可以表示为 $D=\{ (x,y)|-3\sqrt {\dfrac {x}{2}}\leqslant y\leqslant 3\sqrt {\dfrac {x}{2}}$ $0\leqslant x\leqslant 2\} $ 。
步骤 2：计算Ix
Ix是关于y轴的转动惯量，计算公式为 ${I}_{x}=\iint {y}^{2}dxdy$。将区域D代入公式中，得到 ${I}_{x}=\iint {y}^{2}dxdy\xlongequal {x空地UND}2{\int }_{0}^{2}dx{\int }_{0}^{-\dfrac {\sqrt {\dfrac {1}{2}}}{y}^{2}dy$。计算积分，得到 ${I}_{x}=\dfrac {2}{3}{\int }_{0}^{2}\dfrac {27}{2\sqrt {2}}{x}^{\dfrac {3}{2}}dx=\dfrac {72}{5}$。
步骤 3：计算Iy
Iy是关于x轴的转动惯量，计算公式为 ${I}_{y}=\iint {x}^{2}dxdy$。将区域D代入公式中，得到 ${I}_{y}=\iint {x}^{2}dxdy\xlongequal {{x}^{2}+2x-2}{2}^{2}{x}^{2}dx{\int }_{0}^{\sqrt [3]{\dfrac {\sqrt {2}}{6}}dy$。计算积分，得到 ${I}_{y}=2{\int }_{0}^{2}\dfrac {3}{\sqrt {2}}{x}^{\dfrac {5}{2}}dx=\dfrac {96}{7}$。