题目
一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为θ=2+3t3，式中θ以rad计，t以s计，求：（1）t=2s时，质点的切向和法向加速度；（2）当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少？.
一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为θ=2+3t3，式中θ以rad计，t以s计，求：
（1）t=2s时，质点的切向和法向加速度；
（2）当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少？.
（1）t=2s时，质点的切向和法向加速度；
（2）当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少？.
题目解答
答案
（1）由公式θ=2+3t3，
根据角速度与转过的角度的微分关系可得：
则线速度的大小为：v=ωR=9t2
在t=2s时，它的法向加速度为：=1×（9×22）2=1296m/s2
它的切向加速度为：=18t=18×2=36m/s2
（2）由矢量合成的关系可知，当总加速度与半径成45°角时，向心加速度与切向加速度大小相等，即：an=a′
代入数据可得：1×81t4=9t
则：t3=
此时：rad
答：（1）在t=2s时，它的法向加速度和切向加速度分别是1296m/s2和36m/s2；
（2）当θ等于rad时其总加速度与半径成45°角。
解析
步骤 1：计算角速度
由运动方程θ=2+3t^{3}，根据角速度的定义，角速度ω是θ对时间t的导数，即ω=dθ/dt。因此，我们对θ求导得到ω=9t^{2}。
步骤 2：计算切向加速度
切向加速度a_t是角速度ω对时间t的导数，即a_t=dω/dt。因此，我们对ω求导得到a_t=18t。
步骤 3：计算法向加速度
法向加速度a_n是质点沿圆周运动时的向心加速度，其大小为a_n=ω^{2}R，其中R是圆周的半径。因此，我们代入ω和R的值得到a_n=(9t^{2})^{2}×1=81t^{4}。
步骤 4：计算t=2s时的切向和法向加速度
将t=2s代入a_t和a_n的表达式中，得到a_t=18×2=36m/s^{2}，a_n=81×2^{4}=1296m/s^{2}。
步骤 5：计算加速度方向与半径成45°角时的角位移
当加速度方向与半径成45°角时，切向加速度和法向加速度大小相等，即a_t=a_n。因此，我们有18t=81t^{4}，解得t^{3}=1/4.5。将t^{3}的值代入运动方程θ=2+3t^{3}中，得到θ=2+3×1/4.5=2+2/3=8/3rad。
由运动方程θ=2+3t^{3}，根据角速度的定义，角速度ω是θ对时间t的导数，即ω=dθ/dt。因此，我们对θ求导得到ω=9t^{2}。
步骤 2：计算切向加速度
切向加速度a_t是角速度ω对时间t的导数，即a_t=dω/dt。因此，我们对ω求导得到a_t=18t。
步骤 3：计算法向加速度
法向加速度a_n是质点沿圆周运动时的向心加速度，其大小为a_n=ω^{2}R，其中R是圆周的半径。因此，我们代入ω和R的值得到a_n=(9t^{2})^{2}×1=81t^{4}。
步骤 4：计算t=2s时的切向和法向加速度
将t=2s代入a_t和a_n的表达式中，得到a_t=18×2=36m/s^{2}，a_n=81×2^{4}=1296m/s^{2}。
步骤 5：计算加速度方向与半径成45°角时的角位移
当加速度方向与半径成45°角时，切向加速度和法向加速度大小相等，即a_t=a_n。因此，我们有18t=81t^{4}，解得t^{3}=1/4.5。将t^{3}的值代入运动方程θ=2+3t^{3}中，得到θ=2+3×1/4.5=2+2/3=8/3rad。