题目

2.函数f(x)=}(sqrt(sin x+4)-2)/(ln(1+x))&xneq0a&x=0在x=0处连续，则a=（）.(A)0 (B)(1)/(4) (C)1 (D)2

2.函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt{\sin x+4}-2}{\ln(1+x)}&x\neq0\\a&x=0\end{cases}$在x=0处连续，则a=（）. (A)0 (B)$\frac{1}{4}$ (C)1 (D)2

题目解答

答案

当 $ x \to 0 $ 时，分子分母均趋近于0，可使用洛必达法则。对分子求导得： \[ \frac{d}{dx}[\sqrt{\sin x + 4} - 2] = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x + 4}} \] 对分母求导得： \[ \frac{d}{dx}[\ln(1 + x)] = \frac{1}{1 + x} \] 应用洛必达法则： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x + 4}}}{\frac{1}{1 + x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)\cos x}{2\sqrt{\sin x + 4}} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \] 为使函数在 $ x = 0 $ 处连续，应有 $ f(0) = a = \frac{1}{4} $。 **答案：** $\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查函数在某点连续的定义及极限的计算方法，特别是利用洛必达法则处理未定式的能力。

解题核心思路：
函数在$x=0$处连续的条件是$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$。因此，需要计算当$x \to 0$时，分段函数的极限值，并令其等于$a$。

破题关键点：

  1. 识别未定式：当$x \to 0$时，分子$\sqrt{\sin x +4} -2$和分母$\ln(1+x)$均趋近于$0$，形成$\frac{0}{0}$型未定式，可使用洛必达法则。
  2. 正确求导：分别对分子和分母求导，并化简极限表达式。
  3. 代入极限值：将$x=0$代入化简后的表达式，得到$a$的值。

步骤1：验证连续性条件
函数$f(x)$在$x=0$处连续的条件是：
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = a.$

步骤2：计算极限$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{\sin x +4} -2}{\ln(1+x)}$

  1. 识别未定式：当$x \to 0$时，分子$\sqrt{\sin x +4} -2 \to 0$，分母$\ln(1+x) \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型未定式。

  2. 应用洛必达法则：

    • 分子导数：
      $\frac{d}{dx} \left( \sqrt{\sin x +4} -2 \right) = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x +4}}.$
    • 分母导数：
      $\frac{d}{dx} \left( \ln(1+x) \right) = \frac{1}{1+x}.$
    • 极限化简：
      $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x +4}}}{\frac{1}{1+x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\cos x}{2\sqrt{\sin x +4}}.$

  3. 代入$x=0$：
    $\frac{(1+0)\cdot 1}{2 \cdot \sqrt{0 +4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}.$

步骤3：确定$a$的值
根据连续性条件，$a = \frac{1}{4}$，对应选项B。