题目

一、填空题(每题5分,共10分)-|||-1、设行列式 D= |} 3& 0& 4& 0 2& 2& 2& 2 0& -7& 0& 0 5& 3& -2& 2= __-|||-|x 1 1 2

题目解答

答案

解析

本题考查行列式余子式的性质以及行列式的计算。解题思路是先根据余子式与代数余子式的关系，将$M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}$转化为代数余子式的形式，再利用行列式按行展开定理构造新的行列式进行计算。

  1. 将余子式转化为代数余子式：
    根据余子式$M_{ij}$与代数余子式$A_{ij}$的关系$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，可得$M_{41}=(-1)^{4 + 1}A_{41}=-A_{41}$，$M_{42}=(-1)^{4 + 2}A_{42}=A_{42}$，$M_{43}=(-1)^{4 + 3}A_{43}=-A_{43}$，$M_{44}=(-1)^{4 + 4}A_{44}=A_{44}$。
    所以$M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}=-A_{41}+A_{42}-A_{43}+A_{44}$。
  2. 构造新的行列式：
    根据行列式按行展开定理：$n$阶行列式$D$等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即$D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}$（$i = 1,2,\cdots,n$）。
    那么$-A_{41}+A_{42}-A_{43}+A_{44}$相当于将原行列式$D$的第四行元素换为$-1,1,-1,1$后所得行列式的值，即$\begin{vmatrix}3&0&4&0\\2&2&2&2\\0& - 7&0&0\\ - 1&1& - 1&1\end{vmatrix}$。
  3. 计算新行列式的值：
    根据行列式的性质，按第三行展开行列式$\begin{vmatrix}3&0&4&0\\2&2&2&2\\0& - 7&0&0\\ - 1&1& - 1&1\end{vmatrix}$，可得：
    $\begin{vmatrix}3&0&4&0\\2&2&2&2\\0& - 7&0&0\\ - 1&1& - 1&1\end{vmatrix}=(-7)\times(-1)^{3 + 2}\begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\ - 1& - 1&1\end{vmatrix}$
    $=7\begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\ - 1& - 1&1\end{vmatrix}$
    再按第一行展开$\begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\ - 1& - 1&1\end{vmatrix}$，可得：
    $\begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\ - 1& - 1&1\end{vmatrix}=3\times(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}2&2\\ - 1&1\end{vmatrix}+4\times(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix}2&2\\ - 1&1\end{vmatrix}+0\times(-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix}2&2\\ - 1& - 1\end{vmatrix}$
    $=3\times(2\times1 - 2\times(-1))-4\times(2\times1 - 2\times(-1))$
    $=3\times(2 + 2)-4\times(2 + 2)$
    $=3\times4 - 4\times4$
    $=12 - 16=-4$
    所以$7\begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\ - 1& - 1&1\end{vmatrix}=7\times(-4)=-28$。