25.当k满足 __ 时,齐次线性方程组 ) 2(x)_(1)-(x)_(2)+(x)_(3)=0 (x)_(1)+k(x)_(2)-(x)_(3)=0 k(x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=0 . 有非零解. ()-|||-A. neq -1 且 neq 4 B. k=-1-|||-C. k=4 D. k=-1 或 k=4

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组有非零解的条件，即系数矩阵的行列式是否为零。需要掌握三阶行列式的计算方法，并能正确解二次方程。

解题核心思路：

1. 齐次方程组非零解的条件：当系数矩阵的行列式为零时，方程组存在非零解。
2. 行列式计算：通过展开法或行变换计算三阶行列式，得到关于$k$的方程。
3. 解方程：将行列式等于零转化为二次方程，求解$k$的值。

破题关键点：

• 正确展开行列式，避免符号错误。
• 准确解二次方程，得到$k$的可能取值。

齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的行列式为零。系数矩阵为：
$\begin{pmatrix}2 & -1 & 1 \\1 & k & -1 \\k & 1 & 1\end{pmatrix}$

计算行列式：
$\begin{aligned}\begin{vmatrix}2 & -1 & 1 \\1 & k & -1 \\k & 1 & 1\end{vmatrix} &= 2 \cdot \begin{vmatrix}k & -1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix}1 & -1 \\ k & 1\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & k \\ k & 1\end{vmatrix} \\ &= 2(k \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 1(1 \cdot 1 - (-1) \cdot k) + 1(1 \cdot 1 - k \cdot k) \\ &= 2(k + 1) + 1(1 + k) + 1(1 - k^2) \\ &= 2k + 2 + 1 + k + 1 - k^2 \\ &= -k^2 + 3k + 4. \end{aligned}$

令行列式等于零：
$-k^2 + 3k + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad k^2 - 3k - 4 = 0.$

解二次方程：
$k = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \quad \Rightarrow \quad k = 4 \text{ 或 } k = -1.$