题目
一个U型管,两端通大气,现将水从一端倒入U型管内,另一端倒入油,一端水的高度70cm,另一端装有部分水和部分油,在这一端油和水的高度比为6:1,试求每一种液体的高度平y和平y。(油与水的密度比为0.7)平y
一个U型管,两端通大气,现将水从一端倒入U型管内,另一端倒入油,一端水的高度70cm,另一端装有部分水和部分油,在这一端油和水的高度比为6:1,试求每一种液体的高度
和
。(油与水的密度比为0.7)
题目解答
答案
设油在另一端的高度为，水在另一端的高度为。
1. 根据油和水在另一端的高度比为6:1，可得
。
2. 因为U型管两端通大气，根据连通器原理，两端液体对底部产生的压强相等。
- 水产生的压强
。
- 另一端液体产生的压强
，已知
。
- 根据压强相等可得：
。
- 把代入上式得：
。
- 化简得
，即
，解得
。
- 那么
。
总结
故油的高度
，水的高度
。
解析
步骤 1：定义变量
设油在另一端的高度为${h}_{油}$，水在另一端的高度为${h}_{水}$。根据题意，${h}_{油} = 6{h}_{水}$。
步骤 2：应用连通器原理
由于U型管两端通大气，根据连通器原理，两端液体对底部产生的压强相等。一端水产生的压强为${P}_{水} = {\rho}_{水}g{h}_{1}$，其中${h}_{1} = 70cm = 0.7m$。另一端液体产生的压强为${P}_{油} + {P}_{水} = {\rho}_{水}g{h}_{水} + {\rho}_{油}g{h}_{油}$，已知${\rho}_{油} = 0.7{\rho}_{水}$。
步骤 3：建立方程并求解
根据压强相等可得：${\rho}_{水}g \times 0.7 = {\rho}_{水}g{h}_{水} + 0.7{\rho}_{水}g{h}_{油}$。将${h}_{油} = 6{h}_{水}$代入上式得：${\rho}_{水}g \times 0.7 = {\rho}_{水}g{h}_{水} + 0.7{\rho}_{水}g \times 6{h}_{水}$。化简得$0.7 = {h}_{水} + 4.2{h}_{水}$，即$5.2{h}_{水} = 0.7$，解得${h}_{水} = \dfrac {0.7}{5.2} \approx 0.135m = 13.5cm$。那么${h}_{油} = 6{h}_{水} = 6 \times 13.5 = 81cm$。
设油在另一端的高度为${h}_{油}$，水在另一端的高度为${h}_{水}$。根据题意，${h}_{油} = 6{h}_{水}$。
步骤 2：应用连通器原理
由于U型管两端通大气，根据连通器原理，两端液体对底部产生的压强相等。一端水产生的压强为${P}_{水} = {\rho}_{水}g{h}_{1}$，其中${h}_{1} = 70cm = 0.7m$。另一端液体产生的压强为${P}_{油} + {P}_{水} = {\rho}_{水}g{h}_{水} + {\rho}_{油}g{h}_{油}$，已知${\rho}_{油} = 0.7{\rho}_{水}$。
步骤 3：建立方程并求解
根据压强相等可得：${\rho}_{水}g \times 0.7 = {\rho}_{水}g{h}_{水} + 0.7{\rho}_{水}g{h}_{油}$。将${h}_{油} = 6{h}_{水}$代入上式得：${\rho}_{水}g \times 0.7 = {\rho}_{水}g{h}_{水} + 0.7{\rho}_{水}g \times 6{h}_{水}$。化简得$0.7 = {h}_{水} + 4.2{h}_{水}$，即$5.2{h}_{水} = 0.7$，解得${h}_{水} = \dfrac {0.7}{5.2} \approx 0.135m = 13.5cm$。那么${h}_{油} = 6{h}_{水} = 6 \times 13.5 = 81cm$。