题目

6、求函数f(x,y)=(2x^2-y^2)e^x的极值.

6、求函数$f(x,y)=(2x^{2}-y^{2})e^{x}$的极值.

题目解答

答案

求函数 $ f(x, y) = (2x^2 - y^2)e^x $ 的极值。

  1. 求偏导数：
    $ f_x = (2x^2 + 4x - y^2)e^x $，
    $ f_y = -2ye^x $。

  2. 找驻点：
    由 $ f_y = 0 $ 得 $ y = 0 $，代入 $ f_x = 0 $ 得 $ x = 0 $ 或 $ x = -2 $。
    驻点为 $ (0, 0) $ 和 $ (-2, 0) $。

  3. 二阶导数测试：
    $ f_{xx} = (2x^2 + 8x + 4 - y^2)e^x $，
    $ f_{xy} = -2ye^x $，
    $ f_{yy} = -2e^x $。

    • 对 $ (0, 0) $：$ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 4 \times (-2) - 0 = -8 < 0 $，为鞍点。
    • 对 $ (-2, 0) $：$ D = (-4e^{-2}) \times (-2e^{-2}) - 0 = 8e^{-4} > 0 $，且 $ f_{xx} < 0 $，为极大值。

  4. 计算极值：
    $ f(-2, 0) = 8e^{-2} = \frac{8}{e^2} $。

结论：极大值为 $ \boxed{\frac{8}{e^2}} $（或 $ \boxed{8e^{-2}} $），无极小值。

解析

本题考查二元函数极值的求解，解题思路如下：

  1. 首先求函数的一阶偏导数，通过令一阶偏导数为零，找出函数的驻点。
  2. 接着求函数的二阶偏导数，利用二阶偏导数在驻点处的值，根据判别式$D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2$来判断驻点是否为极值点。
  3. 若$D>0$且$f_{xx}>0$，则驻点为极小值点；若$D>0$且$f_{xx}<0$，则驻点为极大值点；若$D<0$，则驻点为鞍点；若$D = 0$，则无法用此方法判断。
  4. 最后将极值点代入原函数，求出极值。

步骤一：求一阶偏导数

已知函数$f(x,y)=(2x^{2}-y^{2})e^{x}$，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = 2x^{2}-y^{2}$，$v = e^{x}$。
对$x$求偏导数：
$f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial(2x^{2}-y^{2})}{\partial x}e^{x}+(2x^{2}-y^{2})\frac{\partial e^{x}}{\partial x}=(4x)e^{x}+(2x^{2}-y^{2})e^{x}=(2x^{2}+4x - y^{2})e^{x}$
对$y$求偏导数：
$f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial(2x^{2}-y^{2})}{\partial y}e^{x}+(2x^{2}-y^{2})\frac{\partial e^{x}}{\partial y}=(-2y)e^{x}=-2ye^{x}$

步骤二：求驻点

令$\begin{cases}f_{x}=0\\f_{y}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}(2x^{2}+4x - y^{2})e^{x}=0\\-2ye^{x}=0\end{cases}$。
因为$e^{x}\gt0$恒成立，所以由$-2ye^{x}=0$可得$y = 0$。
将$y = 0$代入$(2x^{2}+4x - y^{2})e^{x}=0$，得到$(2x^{2}+4x)e^{x}=0$，即$2x^{2}+4x = 0$，提取公因式$2x$得$2x(x + 2)=0$，解得$x = 0$或$x = -2$。
所以驻点为$(0,0)$和$(-2,0)$。

步骤三：求二阶偏导数

对$f_{x}=(2x^{2}+4x - y^{2})e^{x}$求关于$x$的偏导数：
$f_{xx}=\frac{\partial f_{x}}{\partial x}=\frac{\partial(2x^{2}+4x - y^{2})}{\partial x}e^{x}+(2x^{2}+4x - y^{2})\frac{\partial e^{x}}{\partial x}=(4x + 4)e^{x}+(2x^{2}+4x - y^{2})e^{x}=(2x^{2}+8x + 4 - y^{2})e^{x}$
对$f_{x}=(2x^{2}+4x - y^{2})e^{x}$求关于$y$的偏导数：
$f_{xy}=\frac{\partial f_{x}}{\partial y}=\frac{\partial(2x^{2}+4x - y^{2})}{\partial y}e^{x}+(2x^{2}+4x - y^{2})\frac{\partial e^{x}}{\partial y}=(-2y)e^{x}=-2ye^{x}$
对$f_{y}=-2ye^{x}$求关于$y$的偏导数：
$f_{yy}=\frac{\partial f_{y}}{\partial y}=\frac{\partial(-2y)}{\partial y}e^{x}+(-2y)\frac{\partial e^{x}}{\partial y}=-2e^{x}$

步骤四：判断驻点是否为极值点

  • 对于驻点$(0,0)$：
    $f_{xx}(0,0)=(2\times0^{2}+8\times0 + 4 - 0^{2})e^{0}=4$
    $f_{xy}(0,0)=-2\times0\times e^{0}=0$
    $f_{yy}(0,0)=-2e^{0}=-2$
    则判别式$D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=4\times(-2)-0^{2}=-8\lt0$，所以$(0,0)$是鞍点，不是极值点。
  • 对于驻点$(-2,0)$：
    $f_{xx}(-2,0)=(2\times(-2)^{2}+8\times(-2) + 4 - 0^{2})e^{-2}=(8 - 16 + 4)e^{-2}=-4e^{-2}$
    $f_{xy}(-2,0)=-2\times0\times e^{-2}=0$
    $f_{yy}(-2,0)=-2e^{-2}$
    则判别式$D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=(-4e^{-2})\times(-2e^{-2})-0^{2}=8e^{-4}\gt0$，且$f_{xx}(-2,0)=-4e^{-2}\lt0$，所以$(-2,0)$是极大值点。

步骤五：求极值

将极大值点$(-2,0)$代入原函数$f(x,y)=(2x^{2}-y^{2})e^{x}$，可得：
$f(-2,0)=(2\times(-2)^{2}-0^{2})e^{-2}=8e^{-2}=\frac{8}{e^{2}}$