6、求函数f(x,y)=(2x^2-y^2)e^x的极值.

求函数 $ f(x, y) = (2x^2 - y^2)e^x $ 的极值。

1. 求偏导数：
   $ f_x = (2x^2 + 4x - y^2)e^x $，
   $ f_y = -2ye^x $。

2. 找驻点：
   由 $ f_y = 0 $ 得 $ y = 0 $，代入 $ f_x = 0 $ 得 $ x = 0 $ 或 $ x = -2 $。
   驻点为 $ (0, 0) $ 和 $ (-2, 0) $。

3. 二阶导数测试：
   $ f_{xx} = (2x^2 + 8x + 4 - y^2)e^x $，
   $ f_{xy} = -2ye^x $，
   $ f_{yy} = -2e^x $。

   • 对 $ (0, 0) $：$ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 4 \times (-2) - 0 = -8 < 0 $，为鞍点。
   • 对 $ (-2, 0) $：$ D = (-4e^{-2}) \times (-2e^{-2}) - 0 = 8e^{-4} > 0 $，且 $ f_{xx} < 0 $，为极大值。

4. 计算极值：
   $ f(-2, 0) = 8e^{-2} = \frac{8}{e^2} $。

结论：极大值为 $ \boxed{\frac{8}{e^2}} $（或 $ \boxed{8e^{-2}} $），无极小值。