题目
3.计算下列对坐标的曲线积分:-|||-(2)φxydx,其中L为圆周 ((x-a))^2+(y)^2=(a)^2(agt 0) 及x轴所围成的在第一象限内的区-|||-域的整个边界(按逆时针方向绕行);
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线L的组成
曲线L由两部分组成：L1为圆周${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$在第一象限内的上半部分，L2为x轴上从原点到点(2a,0)的线段。
步骤 2：参数化曲线L1
L1可以参数化为$\left \{ \begin{matrix} x=a+a\cos t\\ y=a\sin t\end{matrix} \right.$，其中t从0变到π。
步骤 3：计算L1上的积分
在L1上，dx = -a sin t dt，因此
$\int_{L1} xy dx = \int_{0}^{\pi} a(1+\cos t) \cdot a\sin t \cdot (-a\sin t) dt = -a^3 \int_{0}^{\pi} (1+\cos t) \sin^2 t dt$。
步骤 4：计算L2上的积分
在L2上，y=0，因此
$\int_{L2} xy dx = \int_{0}^{2a} x \cdot 0 dx = 0$。
步骤 5：计算总积分
总积分$\int_{L} xy dx = \int_{L1} xy dx + \int_{L2} xy dx$。
步骤 6：计算积分$\int_{0}^{\pi} (1+\cos t) \sin^2 t dt$
$\int_{0}^{\pi} (1+\cos t) \sin^2 t dt = \int_{0}^{\pi} \sin^2 t dt + \int_{0}^{\pi} \cos t \sin^2 t dt$。
$\int_{0}^{\pi} \sin^2 t dt = \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2t}{2} dt = \frac{\pi}{2}$。
$\int_{0}^{\pi} \cos t \sin^2 t dt = \frac{1}{3} \sin^3 t |_{0}^{\pi} = 0$。
因此，$\int_{0}^{\pi} (1+\cos t) \sin^2 t dt = \frac{\pi}{2}$。
步骤 7：计算总积分的值
$\int_{L} xy dx = -a^3 \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} a^3$。
曲线L由两部分组成：L1为圆周${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$在第一象限内的上半部分，L2为x轴上从原点到点(2a,0)的线段。
步骤 2：参数化曲线L1
L1可以参数化为$\left \{ \begin{matrix} x=a+a\cos t\\ y=a\sin t\end{matrix} \right.$，其中t从0变到π。
步骤 3：计算L1上的积分
在L1上，dx = -a sin t dt，因此
$\int_{L1} xy dx = \int_{0}^{\pi} a(1+\cos t) \cdot a\sin t \cdot (-a\sin t) dt = -a^3 \int_{0}^{\pi} (1+\cos t) \sin^2 t dt$。
步骤 4：计算L2上的积分
在L2上，y=0，因此
$\int_{L2} xy dx = \int_{0}^{2a} x \cdot 0 dx = 0$。
步骤 5：计算总积分
总积分$\int_{L} xy dx = \int_{L1} xy dx + \int_{L2} xy dx$。
步骤 6：计算积分$\int_{0}^{\pi} (1+\cos t) \sin^2 t dt$
$\int_{0}^{\pi} (1+\cos t) \sin^2 t dt = \int_{0}^{\pi} \sin^2 t dt + \int_{0}^{\pi} \cos t \sin^2 t dt$。
$\int_{0}^{\pi} \sin^2 t dt = \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2t}{2} dt = \frac{\pi}{2}$。
$\int_{0}^{\pi} \cos t \sin^2 t dt = \frac{1}{3} \sin^3 t |_{0}^{\pi} = 0$。
因此，$\int_{0}^{\pi} (1+\cos t) \sin^2 t dt = \frac{\pi}{2}$。
步骤 7：计算总积分的值
$\int_{L} xy dx = -a^3 \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} a^3$。