题目

填空题（共15题，30.0分）14. (2.0分) d(1+3x)=____dx

填空题（共15题，30.0分） 14. (2.0分) $d(1+3x)$=____$dx$

题目解答

答案

为了求解 $ d(1+3x) $ 的值，我们需要使用微分的性质。微分的性质之一是对于任意函数 $ f(x) $ 和常数 $ c $，有 $ d(f(x) + c) = df(x) $。另外，对于常数 $ a $ 和函数 $ f(x) $，有 $ d(af(x)) = a df(x) $。 现在，我们应用这些性质来求解 $ d(1+3x) $。 1. 首先，将 $ d(1+3x) $ 分解为 $ d(1) + d(3x) $。 2. 根据微分的性质， $ d(1) = 0 $ 因为常数的微分是0。 3. 然后， $ d(3x) = 3 dx $ 因为 $ x $ 的微分是 $ dx $。 将这些结果组合起来，我们得到: \[ d(1+3x) = d(1) + d(3x) = 0 + 3 dx = 3 dx \] 因此，答案是: \[ \boxed{3} \]

解析

本题考查微分的基本性质，特别是对常数项和线性项的微分运算。解题的关键在于：

  1. 常数的微分为0；
  2. 线性项的微分系数保持不变。

通过分解表达式并逐项计算，即可快速得出结果。

  1. 分解表达式
    根据微分的线性性质，将 $d(1+3x)$ 分解为 $d(1) + d(3x)$。

  2. 计算常数项的微分
    常数项 $1$ 的微分为 $d(1) = 0$。

  3. 计算线性项的微分
    线性项 $3x$ 的微分为 $d(3x) = 3dx$（常数系数 $3$ 保留在微分外）。

  4. 合并结果
    将两部分相加：$d(1+3x) = 0 + 3dx = 3dx$。